Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2012

3º dia · Matemática

Circunferência de centro O interceptada por uma reta horizontal nos pontos A e D, com centro O. Uma reta vertical tangente passa pelo ponto D e contém o ponto C. Uma secante parte do ponto A, intercepta a circunferência no ponto B e encontra a reta tangente no ponto C. O segmento circular entre a corda AB e o arco AB está hachurado.

Na figura, a circunferência de centro O é tangente à reta \overleftrightarrow{CD} no ponto D, o qual pertence à reta \overleftrightarrow{AO}. Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB = 6\sqrt{3} e BC = 2\sqrt{3}. Nessas condições, determine

a) a medida do segmento \overline{CD};

b) o raio da circunferência;

c) a área do triângulo AOB;

d) a área da região hachurada na figura.

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Resolução comentada

a) O ponto C é externo à circunferência. CD é tangente e CA é secante, com CB = 2\sqrt{3} e AB = 6\sqrt{3}. Então CA = CB + AB = 8\sqrt{3}.

Pela potência do ponto C, o quadrado da tangente é igual ao produto da secante inteira pela parte externa:

CD^2 = CB\cdot CA = 2\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3} = 48 \Rightarrow CD = 4\sqrt{3}.

CD = 4\sqrt{3}

b) A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Como A, O e D são colineares, AD é um diâmetro e o triângulo ADC é retângulo em D.

AD^2 = AC^2 - CD^2 = 192 - 48 = 144 \Rightarrow AD = 12.

Logo o raio é R = 12/2 = 6.

R = 6

c) No triângulo AOB, temos OA = OB = 6 e AB = 6\sqrt{3}. Pela lei dos cossenos:

\cos\widehat{AOB} = \frac{36+36-108}{2\cdot 6\cdot 6} = -\frac12 \Rightarrow \widehat{AOB}=120^\circ.

A área é

S = \tfrac12\cdot 6\cdot 6\cdot \sen 120^\circ = 18\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 9\sqrt3.

Conferindo: \tg\widehat{A} = CD/AD = \sqrt3/3, então \widehat{A}=30^\circ. Esse ângulo inscrito corresponde a um arco BD de 60^\circ, e o arco AB vale 180^\circ-60^\circ=120^\circ, o que confirma o resultado.

9\sqrt{3}

d) A região hachurada é o segmento circular limitado pela corda AB e pelo arco menor AB, de 120^\circ. Sua área é a do setor de 120^\circ menos a do triângulo AOB.

S_{setor} = \frac{120}{360}\cdot\pi\cdot 6^2 = 12\pi.
S_{hach} = 12\pi - 9\sqrt3.

12\pi - 9\sqrt{3}

Assuntos: potência de ponto, circunferência, área de segmento circular.

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