Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2012

3º dia · Matemática

Representação espacial do poliedro PABCD, com base ABCD e vértice P, mostrando os segmentos que ligam P a A, B, C e D.

A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado \ell, contido no plano \alpha. Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano \alpha está no semiplano de \alpha determinado pela reta \overleftrightarrow{BC} e que não contém o lado \overline{AD}. Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles de base \overline{BC} cuja altura forma, com o plano \alpha, um ângulo \theta, em que 0 < \theta < \pi/2. Sendo PB = \ell\sqrt{2}/2, determine, em função de \ell e \theta,

a) o volume do tetraedro PABCD;

b) a altura do triângulo APB relativa ao lado \overline{AB};

c) a altura do triângulo APD relativa ao lado \overline{AD}.

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Resolução comentada

a) Como PB=PC=\frac{\ell\sqrt2}{2} e M é o ponto médio de BC, a altura PM do triângulo BPC é perpendicular a BC. Por Pitágoras no triângulo PMB:

PM^2=\left(\frac{\ell\sqrt2}{2}\right)^2-\left(\frac{\ell}{2}\right)^2=\frac{\ell^2}{2}-\frac{\ell^2}{4}=\frac{\ell^2}{4}\Rightarrow PM=\frac{\ell}{2}.

PM forma o ângulo \theta com o plano \alpha. Logo, a altura do tetraedro (distância de P a \alpha) é h=PM\,\sen\theta=\frac{\ell}{2}\sen\theta. A projeção H de P em \alpha fica a MH=\frac{\ell}{2}\cos\theta de M, do lado de BC oposto a AD.

O volume é

V=\frac13\,\ell^2\cdot\frac{\ell}{2}\sen\theta=\frac{\ell^3\sen\theta}{6}.

Volume: \dfrac{\ell^3\sen\theta}{6}

b) Para as distâncias seguintes, use coordenadas: A=(0,0,0), B=(\ell,0,0), C=(\ell,\ell,0), D=(0,\ell,0). Então M=(\ell,\ell/2,0). O ponto P está no semiplano x>\ell, a \frac{\ell}{2}\cos\theta de M nessa direção, e a altura é \frac{\ell}{2}\sen\theta:

P=\left(\ell+\frac{\ell}{2}\cos\theta,\ \frac{\ell}{2},\ \frac{\ell}{2}\sen\theta\right).

A reta AB é o eixo x. A altura de APB relativa a AB é a distância de P a esse eixo:

h_{AB}=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{\frac{\ell^2}{4}+\frac{\ell^2\sen^2\theta}{4}}=\frac{\ell}{2}\sqrt{1+\sen^2\theta}.

Altura: \dfrac{\ell}{2}\sqrt{1+\sen^2\theta}

c) A reta AD é o eixo y. A altura de APD relativa a AD é a distância de P a esse eixo:

h_{AD}=\sqrt{x^2+z^2}=\ell\sqrt{\left(1+\frac{\cos\theta}{2}\right)^2+\frac{\sen^2\theta}{4}}.

Desenvolvendo: 1+\cos\theta+\frac{\cos^2\theta+\sen^2\theta}{4}=\frac54+\cos\theta. Então

h_{AD}=\ell\sqrt{\frac54+\cos\theta}=\frac{\ell}{2}\sqrt{5+4\cos\theta}.

Verificação: com \theta=\pi/2, P fica sobre M a altura \ell/2 e a distância a AD é \sqrt{\ell^2+\ell^2/4}=\frac{\ell\sqrt5}{2}, que coincide com a fórmula.

Altura: \dfrac{\ell}{2}\sqrt{5+4\cos\theta}

Assuntos: geometria espacial, volume de pirâmide, distância ponto-reta no espaço.

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