Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2012
a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.
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Resolução comentada
a) Os grupos A e C têm só meninas e o grupo B tem só meninos. Como há 10 meninas e 6 meninos, o grupo D fica com as 2 meninas e os 2 meninos que sobrarem. Basta escolher A, B e C, e D fica determinado.
- Grupo A: escolher 4 das 10 meninas: \binom{10}{4}=210.
- Grupo C: escolher 4 das 6 meninas restantes: \binom{6}{4}=15.
- Grupo B: escolher 4 dos 6 meninos: \binom{6}{4}=15.
- Grupo D: restam 2 meninas e 2 meninos, então há 1 única maneira.
47 250 maneiras.
b) A probabilidade de um menino ganhar de uma menina é \frac35. Logo, a de uma menina ganhar de um menino é \frac25.
Nas semifinais, Maria enfrenta João e Marta enfrenta José. Em cada jogo, a menina vence com probabilidade \frac25 e o menino com \frac35. Separamos os casos pelos finalistas:
- Duas meninas na final (as duas vencem): \frac25\cdot\frac25=\frac{4}{25}. Nesse caso, uma menina certamente é campeã, com probabilidade 1.
- Dois meninos na final: uma menina nunca vence, com probabilidade 0.
- Uma menina e um menino na final: 2\cdot\frac25\cdot\frac35=\frac{12}{25}. Nesse caso, a menina vence a final com probabilidade \frac25.
Somando as contribuições:
P=\dfrac{44}{125}=35{,}2\%
Assuntos: análise combinatória, probabilidade.
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