Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2012
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado \overline{BC} mede \sqrt{15}/5, o ângulo interno de vértice C mede \alpha, e o ângulo interno de vértice B mede \alpha/2. Sabe-se, também, que
Nessas condições, calcule
a) o valor de \sen \alpha;
b) o comprimento do lado \overline{AC}.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Use \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 e chame c=\cos\alpha:
As raízes são c=\dfrac{-3\pm 5}{8}, ou seja, c=\dfrac14 ou c=-1.
O triângulo é acutângulo, então \alpha<90^\circ e \cos\alpha>0. Logo \cos\alpha=\dfrac14 (a raiz -1 daria \alpha=180^\circ, impossível).
\sen\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{4}
b) Os ângulos são C=\alpha, B=\alpha/2 e A=180^\circ-\tfrac{3\alpha}{2}. Portanto \sen A=\sen\tfrac{3\alpha}{2}.
Com \cos\alpha=\tfrac14 e \alpha/2 agudo:
- \sen^2\tfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}=\dfrac38, logo \sen\tfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}.
- \cos^2\tfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac58, logo \cos\tfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}.
Então:
Pela lei dos senos, \dfrac{AC}{\sen B}=\dfrac{BC}{\sen A}:
AC=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}
Assuntos: equação trigonométrica, lei dos senos, arco metade e soma de arcos.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
