Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2012

3º dia · Matemática

O polinômio p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 8, em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas.

a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).

b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.

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a) Como p tem coeficientes reais e 1+i é raiz, o conjugado 1-i também é raiz. As duas raízes restantes são simétricas, então podem ser escritas como r e -r. (Se 1+i e -1-i fossem as simétricas, -1+i também teria de ser raiz, e seriam 5 raízes. Não serve.)

Pelas relações de Girard, o produto das quatro raízes é o termo independente, -8 (grau par):

(1+i)(1-i)\cdot r\cdot(-r)=-8 \;\Rightarrow\; 2\cdot(-r^2)=-8 \;\Rightarrow\; r^2=4 \;\Rightarrow\; r=\pm 2.

As raízes são 1+i,\ 1-i,\ 2,\ -2. Fatorando:

p(x)=(x^2-2x+2)(x^2-4)=x^4-2x^3-2x^2+8x-8.

Comparando com x^4+ax^3+bx^2+cx-8: a=-2, b=-2 e c=8.

Resposta: a=-2, b=-2, c=8; raízes 1+i,\ 1-i,\ 2,\ -2.

b) Subtraindo 1 de cada raiz, os novos valores são i,\ -i,\ 1,\ -3.

O polinômio de menor grau com coeficientes reais precisa ter i e -i juntos. Isso já acontece, pois são conjugados. Então o grau mínimo é 4, com as quatro raízes simples:

q(x)=k(x-i)(x+i)(x-1)(x+3)=k(x^2+1)(x^2+2x-3),\quad k\in\mathbb{R},\ k\neq 0.

Desenvolvendo:

q(x)=k\,(x^4+2x^3-2x^2+2x-3).

Confere com q(x)=k\,p(x+1), que é o polinômio cujas raízes são as de p menos 1.

Resposta: q(x)=k(x^4+2x^3-2x^2+2x-3), com k real e k\neq0.

Assuntos: polinômios, raízes complexas, relações de Girard.

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