Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2012

Question

Um ciclista pedala sua bicicleta, cujas rodas completam uma volta a cada 0,5 segundo. Em contato com a lateral do pneu dianteiro da bicicleta, está o eixo de um dínamo que alimenta uma lâmpada, conforme a figura ao lado. Os raios da roda dianteira da bicicleta e do eixo do dínamo são, respectivamente, R = 50\text{ cm} e r = 0{,}8\text{ cm}. Determine

Ilustração em corte da roda dianteira de uma bicicleta com um dínamo acoplado ao garfo, em contato com o pneu, e conectado por fios a um farol dianteiro com uma lâmpada em seu interior.

a) os módulos das velocidades angulares \omega_{\text{R}} da roda dianteira da bicicleta e \omega_{\text{D}} do eixo do dínamo, em \text{rad/s};

b) o tempo T que o eixo do dínamo leva para completar uma volta;

c) a força eletromotriz \mathcal{E} que alimenta a lâmpada quando ela está operando em sua potência máxima.

NOTE E ADOTE

\pi = 3

O filamento da lâmpada tem resistência elétrica de 6\ \Omega quando ela está operando em sua potência máxima de 24\text{ W}.

Considere que o contato do eixo do dínamo com o pneu se dá em R = 50\text{ cm}.

Answer 1

Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2012

3º dia · Física

Um ciclista pedala sua bicicleta, cujas rodas completam uma volta a cada 0,5 segundo. Em contato com a lateral do pneu dianteiro da bicicleta, está o eixo de um dínamo que alimenta uma lâmpada, conforme a figura ao lado. Os raios da roda dianteira da bicicleta e do eixo do dínamo são, respectivamente, R = 50\text{ cm} e r = 0{,}8\text{ cm}. Determine

Ilustração em corte da roda dianteira de uma bicicleta com um dínamo acoplado ao garfo, em contato com o pneu, e conectado por fios a um farol dianteiro com uma lâmpada em seu interior.

a) os módulos das velocidades angulares \omega_{\text{R}} da roda dianteira da bicicleta e \omega_{\text{D}} do eixo do dínamo, em \text{rad/s};

b) o tempo T que o eixo do dínamo leva para completar uma volta;

c) a força eletromotriz \mathcal{E} que alimenta a lâmpada quando ela está operando em sua potência máxima.

NOTE E ADOTE

\pi = 3

O filamento da lâmpada tem resistência elétrica de 6\ \Omega quando ela está operando em sua potência máxima de 24\text{ W}.

Considere que o contato do eixo do dínamo com o pneu se dá em R = 50\text{ cm}.

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Resolução comentada

a) A roda completa uma volta a cada 0{,}5\ \text{s}, então seu período é T_R = 0{,}5\ \text{s}:

\omega_R = \frac{2\pi}{T_R} = \frac{2\cdot 3}{0{,}5} = 12\ \text{rad/s}

Como o eixo do dínamo toca a lateral do pneu sem deslizar, os pontos em contato têm a mesma velocidade linear: v_R = v_D, ou seja, \omega_R R = \omega_D r.

\omega_D = \omega_R\,\frac{R}{r} = 12\cdot\frac{50}{0{,}8} = 12\cdot 62{,}5 = 750\ \text{rad/s}

\omega_R = 12\ \text{rad/s} e \omega_D = 750\ \text{rad/s}

b) O tempo de uma volta do eixo é o seu período:

T = \frac{2\pi}{\omega_D} = \frac{6}{750} = 0{,}008\ \text{s}

Confirmação: T = T_R\,\dfrac{r}{R} = 0{,}5\cdot\dfrac{0{,}8}{50} = 0{,}008\ \text{s}.

T = 8\times10^{-3}\ \text{s} (8 ms)

c) Na potência máxima, o filamento tem R_f = 6\ \Omega e P = 24\ \text{W}. Como a potência dissipada no resistor é P = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R_f} (o dínamo alimenta somente a lâmpada, e a resistência interna é desprezada):

\mathcal{E}^2 = P\,R_f = 24\cdot 6 = 144 \;\Rightarrow\; \mathcal{E} = 12\ \text{V}

Conferindo: i = \mathcal{E}/R_f = 2\ \text{A} e P = \mathcal{E}\,i = 12\cdot 2 = 24\ \text{W}.

\mathcal{E} = 12\ \text{V}

Assuntos: movimento circular, acoplamento de polias, potência elétrica.

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Questão F05 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2012