Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2012
Um rapaz com chapéu observa sua imagem em um espelho plano e vertical. O espelho tem o tamanho mínimo necessário, y = 1{,}0\text{ m}, para que o rapaz, a uma distância d = 0{,}5\text{ m}, veja a sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés. A distância de seus olhos ao piso horizontal é h = 1{,}60\text{ m}. A figura da página de resposta ilustra essa situação e, em linha tracejada, mostra o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem do ponto mais alto do chapéu.
a) Desenhe, na figura da página de resposta, o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem da ponta dos pés do rapaz.
b) Determine a altura H do topo do chapéu ao chão.
c) Determine a distância Y da base do espelho ao chão.
d) Quais os novos valores do tamanho mínimo do espelho ( y' ) e da distância da base do espelho ao chão ( Y' ) para que o rapaz veja sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés, quando se afasta para uma distância d' igual a 1 m do espelho?
| NOTE E ADOTE |
|---|
| O topo do chapéu, os olhos e a ponta dos pés do rapaz estão em uma mesma linha vertical. |
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) A imagem da ponta dos pés fica atrás do espelho, à mesma distância d = 0{,}5\ \text{m} dele, na altura do piso. O raio que chega ao olho parece vir dessa imagem. Então o trajeto é o seguinte:
- Sai da ponta dos pés (altura 0) e vai até o espelho, em um ponto de altura Y.
- Nesse ponto ele reflete, com ângulo de reflexão igual ao de incidência.
- Sobe até os olhos, a 1{,}60\ \text{m} do piso.
Os dois trechos formam triângulos retângulos semelhantes, com a base horizontal d em ambos. O ponto de reflexão fica, portanto, na altura média entre os pés e os olhos, 0{,}80\ \text{m} (ver item c). Na figura, trace o raio dos pés até esse ponto do espelho e, dele, até os olhos.
b) O espelho de tamanho mínimo tem metade da altura do rapaz. O raio do topo do chapéu reflete no espelho na altura média entre o chapéu e os olhos. O raio dos pés reflete na altura média entre os pés e os olhos. A extensão entre esses dois pontos é:
Como y = 1{,}0\ \text{m}:
H = 2,0 m
c) O raio que parte dos pés reflete na altura média entre os pés (altura 0) e os olhos (h = 1{,}60\ \text{m}). Isso vale pela semelhança de triângulos, pois a distância horizontal é a mesma nos dois trechos:
Conferência: o topo do espelho fica em Y + y = 1{,}80\ \text{m}, que é a média entre H = 2{,}0\ \text{m} e h = 1{,}60\ \text{m}.
Y = 0,80 m
d) As alturas de reflexão calculadas nos itens b e c dependem só das alturas do chapéu, dos olhos e dos pés. A distância d do rapaz ao espelho não entra nas contas, porque ela aparece igual nos dois triângulos semelhantes. Logo, ao se afastar para d' = 1\ \text{m}, nada muda:
y' = 1,0 m e Y' = 0,80 m
Assuntos: espelho plano, reflexão da luz, semelhança de triângulos.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
