Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2011

3º dia · Matemática

As circunferências \mathcal{C}_1 e \mathcal{C}_2 estão centradas em O_1 e O_2, têm raios r_1 = 3 e r_2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a \mathcal{C}_1 no ponto P_1, tangente a \mathcal{C}_2 no ponto P_2 e intercepta a reta \overleftrightarrow{O_1O_2} no ponto Q. Sendo assim, determine

a) o comprimento P_1P_2;

b) a área do quadrilátero O_1O_2P_2P_1;

c) a área do triângulo QO_2P_2.

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Resolução comentada

a) Como as circunferências são tangentes externamente, O_1O_2 = r_1 + r_2 = 15. Os raios O_1P_1 e O_2P_2 são perpendiculares à tangente t, então são paralelos entre si.

Traçando por O_1 a paralela a P_1P_2, ela encontra O_2P_2 em H. O quadrilátero O_1P_1P_2H é um retângulo, logo O_1H = P_1P_2 e HP_2 = 3. Assim, O_2H = 12 - 3 = 9.

No triângulo retângulo O_1HO_2, com hipotenusa 15 e cateto 9:

P_1P_2 = O_1H = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12

P_1P_2 = 12

b) O quadrilátero O_1O_2P_2P_1 é um trapézio retângulo. As bases paralelas são O_1P_1 = 3 e O_2P_2 = 12, e a altura é P_1P_2 = 12.

A = \frac{(3+12)\cdot 12}{2} = 90

Área = 90

c) Os triângulos QP_1O_1 e QP_2O_2 são semelhantes, pois ambos são retângulos e compartilham o ângulo em Q. A razão de semelhança é \dfrac{O_1P_1}{O_2P_2} = \dfrac{3}{12} = \dfrac14.

Como Q está na reta O_1O_2, do lado de O_1, vale QO_2 = QO_1 + 15. A semelhança dá QO_2 = 4\,QO_1. Então:

4\,QO_1 = QO_1 + 15 \Rightarrow QO_1 = 5,\quad QO_2 = 20

No triângulo retângulo QP_2O_2:

QP_2 = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16

Conferindo: QP_1 = \sqrt{5^2-3^2} = 4 e QP_2 - QP_1 = 12 = P_1P_2.

A = \frac{QP_2\cdot O_2P_2}{2} = \frac{16\cdot 12}{2} = 96

Área = 96

Assuntos: geometria plana, tangência de circunferências, semelhança de triângulos.

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