Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2011

3º dia · Matemática

As raízes da equação do terceiro grau

x^3 - 14x^2 + kx - 64 = 0

são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine

a) as raízes da equação;

b) o valor de k.

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Resolução comentada

a) Como as raízes formam uma PG, escrevo-as como \frac{a}{q}, a e aq, com q a razão.

Pelas relações de Girard, o produto das raízes de x^3 - 14x^2 + kx - 64 = 0 é -(-64) = 64:

\frac{a}{q}\cdot a\cdot aq = a^3 = 64 \Rightarrow a = 4.

A soma das raízes é 14:

\frac{4}{q} + 4 + 4q = 14 \Rightarrow \frac{1}{q} + q = \frac{5}{2}.

Multiplicando por 2q, obtemos 2q^2 - 5q + 2 = 0, cujas soluções são q = 2 ou q = \frac{1}{2}.

Nos dois casos as raízes são as mesmas, só muda a ordem. Para q=2: \frac{4}{2}=2, 4 e 8.

As raízes são 2, 4 e 8.

b) Pelas relações de Girard, k é a soma dos produtos das raízes duas a duas:

k = 2\cdot 4 + 2\cdot 8 + 4\cdot 8 = 8 + 16 + 32 = 56.

Conferindo: 2+4+8=14 e 2\cdot4\cdot8=64, como a equação exige.

k = 56.

Assuntos: relações de girard, progressão geométrica, equações polinomiais.

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