Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2011

Question

a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo

z_0 = \frac{1}{1 + i} - \frac{1}{2i} + i\text{ .}

b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z_0 como raiz.

c) Determine os números complexos w tais que z_0 \cdot w tenha módulo igual a 5\sqrt{2} e tais que as partes real e imaginária de z_0 \cdot w sejam iguais.

d) No plano complexo, determine o número complexo z_1 que é o simétrico de z_0 com relação à reta de equação y - x = 0.

Answer 1

Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2011

3º dia · Matemática

a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo

z_0 = \frac{1}{1 + i} - \frac{1}{2i} + i\text{ .}

b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z_0 como raiz.

c) Determine os números complexos w tais que z_0 \cdot w tenha módulo igual a 5\sqrt{2} e tais que as partes real e imaginária de z_0 \cdot w sejam iguais.

d) No plano complexo, determine o número complexo z_1 que é o simétrico de z_0 com relação à reta de equação y - x = 0.

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Resolução comentada

a) Vamos simplificar cada parcela.

\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}=\frac12-\frac i2.

Como \frac1i=-i, temos -\frac{1}{2i}=\frac i2.

Somando:

z_0=\frac12-\frac i2+\frac i2+i=\frac12+i

Parte real \frac12 e parte imaginária 1.

Resposta: \text{Re}(z_0)=\frac12 e \text{Im}(z_0)=1.

b) Um polinômio com coeficientes reais que tem \frac12+i como raiz também tem a conjugada \frac12-i. Então o polinômio de grau 2 tem soma das raízes 1 e produto \frac14+1=\frac54:

x^2-x+\frac54

Multiplicando por 4 para os coeficientes ficarem inteiros: 4x^2-4x+5.

Conferindo: z_0^2=\frac14-1+i=-\frac34+i, então 4z_0^2=-3+4i e -4z_0=-2-4i. A soma -3+4i-2-4i+5 dá 0.

Resposta: p(x)=4x^2-4x+5.

c) Seja p=z_0w. Como as partes real e imaginária são iguais, p=a+ai=a(1+i) com a real. Então |p|=|a|\sqrt2=5\sqrt2, logo a=\pm5 e p=\pm(5+5i).

Para achar w, dividimos por z_0. Como |z_0|^2=\frac14+1=\frac54:

\frac1{z_0}=\frac{\overline{z_0}}{|z_0|^2}=\frac45\left(\frac12-i\right)=\frac25-\frac45 i

Assim:

w=\pm5(1+i)\left(\frac25-\frac45 i\right)=\pm(1+i)(2-4i)=\pm(2-4i+2i+4)=\pm(6-2i)

Conferindo: \left(\frac12+i\right)(6-2i)=3-i+6i+2=5+5i.

Resposta: w=6-2i ou w=-6+2i.

d) A reflexão em relação à reta y=x troca as coordenadas: o ponto (x,y) vai para (y,x). Como z_0 corresponde ao ponto \left(\frac12,1\right), o simétrico é \left(1,\frac12\right).

Resposta: z_1=1+\frac12 i.

Assuntos: números complexos, raízes de polinômios, simetria no plano complexo.

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