Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2011

3º dia · Matemática

Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.

a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?

b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?

c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?

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Resolução comentada

a) As 14 questões são todas distintas e podem ser permutadas livremente. O número de versões é o de permutações de 14 elementos:

14! = 87\,178\,291\,200

14!

b) Nas versões classe A, as posições 1 a 7 são de Português e a posição 14 é de Matemática.

  1. As 7 questões de Português podem ser permutadas nas 7 primeiras posições: 7! modos.
  2. As posições 8 a 14 recebem 4 de Geografia (G) e 3 de Matemática (M). A posição 14 é M e não pode haver dois M seguidos. Primeiro escolho o padrão G/M e depois permuto as questões.
  3. Os 4 G criam 5 "vãos" (antes, entre e depois deles). Cada M ocupa um vão diferente, e assim nunca ficam dois M juntos. O último vão (depois do último G) precisa ter um M, pois a posição 14 é M. Falta escolher os vãos de 2 M entre os 4 restantes: \binom{4}{2}=6 padrões.
  4. Dentro de cada padrão, as questões de Geografia podem ser permutadas (4!) e as de Matemática também (3!).

Total:

6\cdot 7!\cdot 4!\cdot 3! = 6\cdot 5040\cdot 24\cdot 6 = 4\,354\,560

4 354 560 versões classe A.

c) Dado que a prova começa com as 7 de Português, o espaço amostral tem:

  • 7! ordens das questões de Português;
  • 7! ordens das outras 7 questões (4 de Geografia e 3 de Matemática) nas posições 8 a 14.

Total: 7!\cdot 7! versões.

Os casos favoráveis são os do item (b): 6\cdot 7!\cdot 4!\cdot 3!. A probabilidade é:

P=\frac{6\cdot 7!\cdot 4!\cdot 3!}{7!\cdot 7!}=\frac{6\cdot 24\cdot 6}{5040}=\frac{864}{5040}=\frac{6}{35}

Conferência: dos \binom{7}{3}=35 padrões G/M possíveis nas 7 últimas posições, 6 são favoráveis.

\dfrac{6}{35}\approx 17{,}1\%

Assuntos: análise combinatória, permutações, probabilidade.

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Ver como caiu na prova Questão M03 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2011