Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2011

a) Com o cubo de lado \ell, o tronco tem duas bases e três faces laterais. A base maior é o triângulo EFG e a menor é o triângulo MBN. As laterais são EFBM, FGNB e EGNM. Vou somar as áreas das cinco faces.

1. Bases. Os dois triângulos são retângulos, em F e em B.
   

   S_{EFG}=\frac{\ell\cdot\ell}{2}=\frac{\ell^2}{2},\qquad S_{MBN}=\frac{\frac{\ell}{2}\cdot\frac{\ell}{2}}{2}=\frac{\ell^2}{8}

2. Faces EFBM e FGNB. São trapézios retângulos, pois BF\perp AB e BF\perp BC. Em EFBM, as bases são EF=\ell e MB=\ell/2, e a altura é BF=\ell. A face FGNB é igual a ela.
   

   S=\frac{\ell+\frac{\ell}{2}}{2}\cdot\ell=\frac{3\ell^2}{4}\ \text{(cada uma)}

3. Face EGNM. É um trapézio isósceles. As bases são EG=\ell\sqrt2 (diagonal da face do cubo) e MN=\dfrac{\ell\sqrt2}{2} (base média do triângulo ABC). Os lados não paralelos medem
   

   EM=\sqrt{\ell^2+\frac{\ell^2}{4}}=\frac{\ell\sqrt5}{2}.
   
   A diferença entre as bases, dividida por 2, é \dfrac{\ell\sqrt2}{4}. A altura é, então,
   
   h=\sqrt{\frac{5\ell^2}{4}-\frac{2\ell^2}{16}}=\sqrt{\frac{18\ell^2}{16}}=\frac{3\sqrt2}{4}\ell
   
   
   S_{EGNM}=\frac{\ell\sqrt2+\frac{\ell\sqrt2}{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt2}{4}\ell=\frac{3\sqrt2}{4}\ell\cdot\frac{3\sqrt2}{4}\ell=\frac{9\ell^2}{8}

4. Soma.
   

   S=\frac{\ell^2}{2}+\frac{\ell^2}{8}+\frac{3\ell^2}{4}+\frac{3\ell^2}{4}+\frac{9\ell^2}{8}=\frac{4+1+6+6+9}{8}\ell^2=\frac{13\ell^2}{4}

A área da superfície do tronco é \dfrac{13\ell^2}{4}.

Assuntos: geometria espacial, tronco de pirâmide, área de superfície.