Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2011
Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade
|\log_{16}(1 - x^2) - \log_4(1 + x)| < \frac{1}{2}\;.
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Resolução comentada
a) Primeiro o domínio: precisamos de 1-x^2>0 e 1+x>0, o que dá -1<x<1.
Agora levamos tudo para a base 4. Como \log_{16} y=\dfrac{\log_4 y}{\log_4 16}=\dfrac{1}{2}\log_4 y, e 1-x^2=(1-x)(1+x):
\log_{16}(1-x^2)=\frac12\left[\log_4(1-x)+\log_4(1+x)\right]
Subtraindo \log_4(1+x):
\log_{16}(1-x^2)-\log_4(1+x)=\frac12\log_4(1-x)-\frac12\log_4(1+x)=\frac12\log_4\frac{1-x}{1+x}
A desigualdade fica \left|\dfrac12\log_4\dfrac{1-x}{1+x}\right|<\dfrac12, ou seja:
-1<\log_4\frac{1-x}{1+x}<1 \iff \frac14<\frac{1-x}{1+x}<4
Como 1+x>0 no domínio, podemos multiplicar por 1+x sem inverter o sinal:
- \dfrac{1+x}{4}<1-x \Rightarrow 1+x<4-4x \Rightarrow x<\dfrac35.
- 1-x<4(1+x) \Rightarrow 1-x<4+4x \Rightarrow x>-\dfrac35.
Isso já está dentro de -1<x<1. Portanto:
\left\{x\in\mathbb{R} : -\dfrac35<x<\dfrac35\right\}
Assuntos: logaritmos, inequações logarítmicas, mudança de base.
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