Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2011
Para manter-se equilibrado em um tronco de árvore vertical, um pica-pau agarra-se pelos pés, puxando-se contra o tronco, e apoia sobre ele sua cauda, constituída de penas muito rígidas, conforme figura ao lado. No esquema impresso na folha de respostas estão indicadas as direções das forças nos pés (\boldsymbol{T}) e na cauda (\boldsymbol{C}) do pica-pau – que passam pelo seu centro de massa (CM) – e a distância da extremidade da cauda ao CM do pica-pau, que tem 1\text{ N} de peso (\boldsymbol{P}).
a) Calcule os momentos da forças \boldsymbol{P} e \boldsymbol{C} em relação ao ponto O indicado no esquema impresso na folha de respostas.
b) Escreva a expressão para o momento da força \boldsymbol{T} em relação ao ponto O e determine o módulo dessa força.
c) Determine o módulo da força \boldsymbol{C} na cauda do pica-pau.
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Resolução comentada
a)
A imagem enviada mostra apenas o pica-pau: não aparece o esquema da folha de respostas, com o ponto O, as direções das forças e as medidas. Esses dados são necessários para calcular os momentos numericamente.
O módulo do momento de uma força em relação a O é o produto de seu módulo pela distância perpendicular de O à sua linha de ação. Chamando essas distâncias de d_P e d_C, temos:
Os sentidos de rotação também dependem da posição de O. Se ele estiver na extremidade da cauda, a linha de ação de \boldsymbol C passará por esse ponto e seu momento será nulo.
Sem o esquema, não é possível determinar os momentos pedidos numericamente.
b)
Para a força \boldsymbol T, seja r_T a distância de O ao ponto de aplicação e \theta_T o ângulo entre esse vetor posição e a força. O módulo do momento é:
em que d_T é a distância perpendicular de O à linha de ação de \boldsymbol T.
Como o pica-pau está em equilíbrio, a soma dos momentos deve ser zero. Usando momentos com sinais que indiquem os sentidos de rotação:
Assim, para d_T\ne 0:
A expressão é |M_T|=T\,r_T\,\sen\theta_T; o valor de T depende das medidas do esquema ausente.
c)
Além do equilíbrio de rotação, deve haver equilíbrio de translação: a soma vetorial das forças é nula.
Escolhendo o eixo vertical positivo para cima, o peso tem componentes P_x=0 e P_y=-1\ \text{N}. Portanto:
O módulo da força na cauda seria calculado por:
Para obter as componentes de \boldsymbol T, precisamos do seu módulo e da direção indicada no esquema. Envie a figura da folha de respostas para completar os cálculos.
O módulo de C não pode ser determinado numericamente com a figura fornecida.
Assuntos: equilíbrio estático, momento de uma força, decomposição de forças.
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