Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2011
Trens de alta velocidade, chamados trens-bala, deverão estar em funcionamento no Brasil nos próximos anos. Características típicas desses trens são: velocidade máxima de 300\ \text{km/h}, massa total (incluindo 500 passageiros) de 500\ \text{t} e potência máxima dos motores elétricos igual a 8\ \text{MW}. Nesses trens, as máquinas elétricas que atuam como motores também podem ser usadas como geradores, freando o movimento (freios regenerativos). Nas ferrovias, as curvas têm raio de curvatura de, no mínimo, 5\ \text{km}. Considerando um trem e uma ferrovia com essas características, determine:
a) O tempo necessário para o trem atingir a velocidade de 288\ \text{km/h}, a partir do repouso, supondo que os motores forneçam a potência máxima o tempo todo.
b) A força máxima na direção horizontal, entre cada roda e o trilho, numa curva horizontal percorrida a 288\ \text{km/h}, supondo que o trem tenha 80 rodas e que as forças entre cada uma delas e o trilho tenham a mesma intensidade.
c) A aceleração do trem quando, na velocidade de 288\ \text{km/h}, as máquinas elétricas são acionadas como geradores de 8\ \text{MW} de potência, freando o movimento.
| NOTE E ADOTE |
|---|
| 1\ \text{t} = 1000\ \text{kg} Desconsidere o fato de que, ao partir, os motores demoram alguns segundos para atingir sua potência máxima. |
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Resolução comentada
a) Se a potência é máxima e constante, o trabalho dos motores vale P\,\Delta t e, pelo teorema da energia cinética (sem considerar atritos), é igual à energia cinética final.
Dados: v = 288\ \text{km/h} = 80\ \text{m/s}, m = 500\ \text{t} = 5\times10^5\ \text{kg}, P = 8\times10^6\ \text{W}.
\Delta t = 200\ \text{s} (cerca de 3 min 20 s).
b) Na curva horizontal, a força resultante é centrípeta e vem do contato entre as rodas e os trilhos. O raio mínimo é 5\ \text{km}, e a força é máxima justamente nesse raio menor.
- Força total: F = \frac{m v^2}{R} = \frac{5\times10^5\cdot 80^2}{5\times10^3} = 6{,}4\times10^5\ \text{N}
- Dividindo entre as 80 rodas, que têm forças iguais: f = \frac{6{,}4\times10^5}{80} = 8\times10^3\ \text{N}
f = 8\times10^3\ \text{N} por roda.
c) A potência de frenagem é a potência da força de freio: P = F v. Com P = 8\ \text{MW} e v = 80\ \text{m/s}:
Essa força é oposta ao movimento. Pela 2ª lei de Newton:
O sinal negativo indica desaceleração, e o módulo é 0{,}2\ \text{m/s}^2 nesse instante (ela aumenta conforme o trem diminui a velocidade, pois F = P/v).
a = -0{,}2\ \text{m/s}^2 (módulo 0{,}2\ \text{m/s}^2, contrária ao movimento).
Assuntos: potência e energia cinética, movimento circular e força centrípeta, leis de Newton.
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