Questão 2 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2011
No plano cartesiano Oxy, considere a parábola \mathcal{P} de equação y = -4x^2 + 8x + 12 e a reta r de equação y = 3x + 6. Determine:
a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola \mathcal{P} com o eixo coordenado Ox, bem como o vértice V da parábola \mathcal{P}.
b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de \mathcal{P} com a reta r.
c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.
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Resolução comentada
a) As raízes saem de -4x^2+8x+12=0, ou seja, x^2-2x-3=0. Então x=\frac{2\pm 4}{2}, que dá x=3 ou x=-1. Logo A=(-1,0) e B=(3,0).\n\nO vértice tem x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{-8}=1 e y_V=-4+8+12=16.\n\n**A=(-1,0), B=(3,0), V=(1,16)\n\nb)** Igualamos a parábola à reta: -4x^2+8x+12=3x+6, o que dá -4x^2+5x+6=0, ou 4x^2-5x-6=0.\n\n\Delta=25+96=121, então x=\frac{5\pm 11}{8}, ou seja, x=2 ou x=-\frac{3}{4}.\n\nA abscissa positiva é x=2, e y=3\cdot 2+6=12. Conferindo na parábola: -16+16+12=12.\n\n**C=(2,12)\n\nc)** Os pontos A(-1,0), B(3,0), C(2,12) e V(1,16) formam o quadrilátero ABCV, nessa ordem. Vamos usar a fórmula do cordão (shoelace):\n\n1. A\to B: (-1)(0)-(3)(0)=0\n2. B\to C: 3\cdot12-2\cdot0=36\n3. C\to V: 2\cdot16-1\cdot12=20\n4. V\to A: 1\cdot0-(-1)\cdot16=16\n\nA soma é 72, então a área é \frac{72}{2}=36.\n\nComo conferência, dividimos em dois triângulos pela diagonal AC ou pela base AB. O triângulo ABV tem área \frac{4\cdot16}{2}=32. Já BCV tem área \frac{1}{2}|(C-B)\times(V-B)|=\frac12|(-1)(16)-(12)(-2)|=\frac12\cdot 8=4. Como C fica fora do triângulo ABV, o quadrilátero é ABV mais BCV: 32+4=36. As duas contas coincidem.\n\nÁrea =36 unidades de área
Assuntos: parábola, intersecção de parábola e reta, área de polígonos no plano cartesiano.
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