Questão 1 (2º dia) da 2ª fase da FUVEST 2011

2º dia · Matemática

a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?

b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5?

c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4?

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Resolução comentada

a) Temos 6 algarismos disponíveis e precisamos preencher 4 posições sem repetir. Pelo princípio multiplicativo:

6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 = 360.

360 números.

b) Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Aqui só o 5 está disponível, então o algarismo das unidades é obrigatoriamente 5 (1 escolha). Sobram 5 algarismos para as três primeiras posições:

5\cdot 4\cdot 3\cdot 1 = 60.

60 números.

c) Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. Esse número precisa ser par, então termina em 6 ou 8.

  • Terminando em 6, as dezenas possíveis são 1, 3, 5, 8, 9. Os números 16, 36, 56 e 96 são divisíveis por 4, mas 86 não é.
  • Terminando em 8, as dezenas possíveis são 1, 3, 5, 6, 9. Só 68 é divisível por 4 (18, 38, 58 e 98 não são).

Logo, os finais possíveis são 16, 36, 56, 96 e 68, ou seja, 5 finais.

Para cada final, sobram 4 algarismos para as duas primeiras posições, sem repetição: 4\cdot 3 = 12 maneiras.

5\cdot 12 = 60.

60 números.

Assuntos: análise combinatória, princípio multiplicativo, critérios de divisibilidade.

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