Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2010

3º dia · Matemática

No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função

y = \frac{\sqrt{8}}{|x|}.

Plano cartesiano com eixos x e y e origem O, contendo uma circunferência centrada na origem e as curvas simétricas da função y = qrt{8}/|x|. A curva à direita intercepta a circunferência nos pontos B (mais acima) e A (mais à direita, próximo ao eixo x). A curva à esquerda intercepta a circunferência nos pontos C (mais acima) e D (mais à esquerda, próximo ao eixo x).

Nessas condições, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função.

b) a área do pentágono OABCD.

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Resolução comentada

a) Os pontos de interseção satisfazem x^2+y^2=9 e y=\dfrac{\sqrt8}{|x|}, ou seja, x^2y^2=8.

Chamando u=x^2, temos y^2=9-u, e então:

u(9-u)=8 \;\Rightarrow\; u^2-9u+8=0 \;\Rightarrow\; u=1 \text{ ou } u=8.
  • Se x^2=1, então |x|=1 e y=\sqrt8=2\sqrt2.
  • Se x^2=8, então |x|=2\sqrt2 e y=\dfrac{2\sqrt2}{2\sqrt2}=1.

Pela figura, A e B estão à direita (x>0), com A mais próximo do eixo x. C e D estão à esquerda (x<0), com D mais próximo do eixo x. Logo:

A(2\sqrt2,\,1), B(1,\,2\sqrt2), C(-1,\,2\sqrt2), D(-2\sqrt2,\,1).

b) Divido o pentágono em três triângulos com vértice em O: OAB, OBC e OCD.

  1. OAB: por determinante, a área é \dfrac12\left|x_Ay_B-x_By_A\right|=\dfrac12\left|2\sqrt2\cdot2\sqrt2-1\cdot1\right|=\dfrac72.
  2. OBC: a base BC=2 é horizontal e a altura é 2\sqrt2, então a área é \dfrac12\cdot2\cdot2\sqrt2=2\sqrt2.
  3. OCD: por simetria em relação ao eixo y, tem a mesma área de OAB, ou seja, \dfrac72.

Somando:

\dfrac72+2\sqrt2+\dfrac72=7+2\sqrt2.

Área =7+2\sqrt2 (unidades de área).

Assuntos: geometria analítica, área de polígonos, circunferência e função modular.

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