Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2010

3º dia · Matemática

Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < \frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2} < y < \pi, satisfazendo \sen y = 4/5 e 11 \sen x + 5 \cos(y - x) = 3.

Nessas condições, determine

a) \cos y.

b) \sen 2x.

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Resolução comentada

a) Como \frac{\pi}{2} < y < \pi, o ângulo y está no 2º quadrante, onde o cosseno é negativo. Pela relação fundamental:

\cos^2 y = 1 - \sen^2 y = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

Logo \cos y = -\frac{3}{5}.

\cos y = -\dfrac{3}{5}

b) Primeiro abrimos o cosseno da diferença:

\cos(y-x) = \cos y\cos x + \sen y\sen x = -\frac{3}{5}\cos x + \frac{4}{5}\sen x

Substituindo na equação dada:

11\sen x - 3\cos x + 4\sen x = 3 \;\Rightarrow\; 15\sen x - 3\cos x = 3 \;\Rightarrow\; \cos x = 5\sen x - 1

Usamos agora \sen^2 x + \cos^2 x = 1, com s = \sen x:

s^2 + (5s-1)^2 = 1 \;\Rightarrow\; 26s^2 - 10s = 0 \;\Rightarrow\; s(26s - 10) = 0

Como 0 < x < \frac{\pi}{2}, s \neq 0, então \sen x = \frac{5}{13}. Daí \cos x = \frac{25}{13} - 1 = \frac{12}{13}, que é positivo, como deve ser no 1º quadrante.

Por fim:

\sen 2x = 2\sen x\cos x = 2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13} = \frac{120}{169}

\sen 2x = \dfrac{120}{169}

Assuntos: trigonometria, identidades trigonométricas, cosseno da diferença.

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