Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2010
Seja n um número inteiro, n \ge 0.
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 \le k \le n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.
Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.
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Resolução comentada
a) Se Luís recebe x bolas, Antônio fica com as n-x restantes. Como x pode valer 0,1,\dots,n e cada valor define uma distribuição diferente, há n+1 distribuições.
Resposta: n+1 maneiras.
b) Sejam p, l e a as quantidades de Pedro, Luís e Antônio. Queremos contar as soluções inteiras não negativas de p+l+a=n.
Fixando p (de 0 a n), as n-p bolas restantes são divididas entre Luís e Antônio. Pelo item a), isso dá n-p+1 maneiras. Somando:
Isso coincide com \binom{n+2}{2}.
Resposta: \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} maneiras.
c) O espaço amostral tem \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} distribuições, todas igualmente prováveis.
Os casos favoráveis são aqueles com p\ge k. Fixando p entre k e n, restam n-p bolas para Luís e Antônio, o que dá n-p+1 maneiras. Somando:
Outro caminho: dê k bolas a Pedro e distribua as n-k restantes entre os três. Isso dá \binom{n-k+2}{2}, o mesmo resultado.
A probabilidade é então
Conferência: para k=0, P=1, como esperado.
Resposta: P=\dfrac{(n-k+1)(n-k+2)}{(n+1)(n+2)}.
Assuntos: combinatória, distribuição de objetos idênticos, probabilidade.
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