Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2010

3º dia · Física

A figura abaixo mostra o esquema de um instrumento (espectrômetro de massa), constituído de duas partes. Na primeira parte, há um campo elétrico \vec{E}, paralelo a esta folha de papel, apontando para baixo, e também um campo magnético \vec{B}_1 perpendicular a esta folha, entrando nela. Na segunda, há um campo magnético \vec{B}_2, de mesma direção que \vec{B}_1, mas em sentido oposto. Íons positivos, provenientes de uma fonte, penetram na primeira parte e, devido ao par de fendas \text{F}_1 e \text{F}_2, apenas partículas com velocidade \vec{v}, na direção perpendicular aos vetores \vec{E} e \vec{B}_1, atingem a segunda parte do equipamento, onde os íons de massa m e carga q têm uma trajetória circular com raio R.

Esquema do espectrômetro de massa: uma fonte à esquerda emite íons horizontalmente através da fenda F1 na 1ª parte, onde atuam um campo magnético B1 entrando no plano e um campo elétrico E apontando para baixo. Os íons não desviados saem pela fenda F2 com velocidade horizontal v e entram na 2ª parte, sob a ação de um campo magnético B2 saindo do plano, descrevendo uma trajetória circular de raio R que se curva para baixo.

a) Obtenha a expressão do módulo da velocidade \vec{v} em função de E e de B_1.

b) Determine a razão m/q dos íons em função dos parâmetros E, B_1, B_2 e R.

c) Determine, em função de R, o raio R' da trajetória circular dos íons, quando o campo magnético, na segunda parte do equipamento, dobra de intensidade, mantidas as demais condições.

NOTE E ADOTE:
F_{\text{elétrica}} = q\ E (na direção do campo elétrico).
F_{\text{magnética}} = q\ v\ B\ \text{sen}\ \theta (na direção perpendicular a \vec{v} e a \vec{B}; \theta é o ângulo formado por \vec{v} e \vec{B}).
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Resolução comentada

a) Na primeira parte, o íon positivo só passa pelas fendas sem desvio se a força elétrica e a força magnética se anularem. A força elétrica aponta para baixo, no sentido de \vec{E}. A força magnética, com \vec{v} para a direita e \vec{B}_1 entrando na folha, aponta para cima (regra da mão direita), então as duas forças têm sentidos opostos. Como \vec{v} é perpendicular a \vec{B}_1, \text{sen}\ \theta = 1.

Igualando os módulos:

qE = qvB_1 \;\Rightarrow\; v = \frac{E}{B_1}

v = E/B_1

b) Na segunda parte só atua a força magnética, perpendicular a \vec{v}, que faz o papel de força centrípeta no movimento circular de raio R. Aqui \vec{v}\perp\vec{B}_2, então \text{sen}\ \theta = 1:

qvB_2 = \frac{mv^2}{R} \;\Rightarrow\; \frac{m}{q} = \frac{B_2 R}{v}

Substituindo v = E/B_1 do item (a):

\frac{m}{q} = \frac{B_1 B_2 R}{E}

m/q = B_1B_2R/E

c) Com o campo da segunda parte dobrado, B_2' = 2B_2, e mantidas as demais condições, a velocidade continua sendo v = E/B_1 (ela depende só da primeira parte), e m e q não mudam. Pelo item (b), R = \dfrac{mv}{qB_2}, de modo que R é inversamente proporcional a B_2:

R' = \frac{mv}{q\,(2B_2)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{mv}{qB_2} = \frac{R}{2}

R' = R/2

Assuntos: espectrômetro de massa, força magnética, seletor de velocidades.

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