Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2010

3º dia · Física

Um balão de ar quente é constituído de um envelope (parte inflável), cesta para três passageiros, queimador e tanque de gás. A massa total do balão, com três passageiros e com o envelope vazio, é de 400\text{ kg}. O envelope totalmente inflado tem um volume de 1500\text{ m}^3.

a) Que massa de ar M_1 caberia no interior do envelope, se totalmente inflado, com pressão igual à pressão atmosférica local (P_{atm}) e temperatura T=27\ ^\circ\text{C}?

b) Qual a massa total de ar M_2, no interior do envelope, após este ser totalmente inflado com ar quente a uma temperatura de 127\ ^\circ\text{C} e pressão P_{atm}?

c) Qual a aceleração do balão, com os passageiros, ao ser lançado nas condições dadas no item b) quando a temperatura externa é T=27\ ^\circ\text{C} ?

NOTE E ADOTE:
Densidade do ar a 27\ ^\circ\text{C} e à pressão atmosférica local = 1{,}2\text{ kg/m}^3.
Aceleração da gravidade na Terra, g = 10\text{ m/s}^2.
Considere todas as operações realizadas ao nível do mar.
Despreze o empuxo acarretado pelas partes sólidas do balão.
\text{T (K)} = \text{T }(^\circ\text{C}) + 273

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Resolução comentada

a) A massa de ar que cabe no envelope é a densidade do ar a 27\ ^\circ\text{C} vezes o volume:

M_1=\rho V=1{,}2\ \text{kg/m}^3\times 1500\ \text{m}^3=1800\ \text{kg}

M_1 = 1800\ \text{kg}

b) Com pressão e volume iguais, a equação de Clapeyron, PV=\frac{m}{M}RT, mostra que a massa de gás é inversamente proporcional à temperatura absoluta. Convertendo as temperaturas: T_1=27+273=300\ \text{K} e T_2=127+273=400\ \text{K}.

M_2 T_2 = M_1 T_1 \Rightarrow M_2=1800\times\frac{300}{400}=1350\ \text{kg}

O ar quente é menos denso, por isso cabe menos massa no mesmo volume.

M_2 = 1350\ \text{kg}

c) Sobre o balão atuam o empuxo (para cima) e o peso (para baixo).

  1. O empuxo é o peso do ar externo deslocado, a 27\ ^\circ\text{C}. Esse ar tem massa M_1: E=M_1 g=1800\times10=18000\ \text{N}.
  2. A massa do balão com o ar quente é m=400+1350=1750\ \text{kg}, e seu peso é P=1750\times10=17500\ \text{N}.
  3. Pela segunda lei de Newton: E-P=ma.
a=\frac{18000-17500}{1750}=\frac{500}{1750}\approx 0{,}29\ \text{m/s}^2

O sinal positivo indica que a aceleração é para cima, ou seja, o balão sobe.

a \approx 0{,}29\ \text{m/s}^2, vertical para cima

Assuntos: gases ideais, empuxo, segunda lei de newton.

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