Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2010

3º dia · Física

Pedro atravessa a nado, com velocidade constante, um rio de 60 m de largura e margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que boia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na margem do rio, vê que Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um ângulo \theta com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras abaixo, respectivamente por PA e PM. Se o ângulo \theta for tal que \cos \theta = 3/5 (\sen \theta = 4/5), qual o valor do módulo da velocidade

Esquema com a rosa dos ventos e as representações das margens do rio. À esquerda, a trajetória vista por Ana é uma reta perpendicular às margens com sentido de P para A. À direita, a trajetória vista por Marta é uma reta inclinada no sentido de P para M, fazendo um ângulo teta com a perpendicular tracejada às margens.

a) de Pedro em relação à água?

b) de Pedro em relação à margem?

c) da água em relação à margem?

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Resolução comentada

a) Ana está parada em relação à água, então ela vê o movimento de Pedro em relação à água. Para ela, Pedro atravessa os 60 m em linha reta, perpendicular às margens, em 2 min = 120 s:

v_{P,\text{água}}=\frac{60\ \text{m}}{120\ \text{s}}=0{,}5\ \text{m/s}

v_{P,\text{água}} = 0{,}5\ \text{m/s}

b) Marta, na margem, vê a velocidade de Pedro em relação à margem. Essa velocidade é a soma vetorial da velocidade de Pedro em relação à água (perpendicular às margens) com a velocidade da água em relação à margem (paralela às margens):

\vec v_{P,\text{margem}}=\vec v_{P,\text{água}}+\vec v_{\text{água},\text{margem}}

A trajetória de Marta forma o ângulo \theta com a perpendicular às margens. A componente perpendicular de \vec v_{P,\text{margem}} é a própria v_{P,\text{água}}=0{,}5\ \text{m/s}, pois a correnteza não tem componente nessa direção. Logo:

v_{P,\text{margem}}\cos\theta=0{,}5 \Rightarrow v_{P,\text{margem}}=\frac{0{,}5}{3/5}=\frac{5}{6}\approx 0{,}83\ \text{m/s}

v_{P,\text{margem}} = 5/6 \approx 0{,}83\ \text{m/s}

c) A velocidade da água em relação à margem é a componente de \vec v_{P,\text{margem}} paralela às margens, a que faz Pedro derivar para leste:

v_{\text{água}}=v_{P,\text{margem}}\,\sen\theta=\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\approx 0{,}67\ \text{m/s}

Conferindo pelo triângulo retângulo: \tg\theta=\dfrac{v_{\text{água}}}{0{,}5}=\dfrac{4}{3}, o que dá v_{\text{água}}=\dfrac{2}{3}\ \text{m/s}.

v_{\text{água},\text{margem}} = 2/3 \approx 0{,}67\ \text{m/s}

Assuntos: cinemática vetorial, velocidade relativa, composição de movimentos.

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