Questão M10 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que

Pirâmide de base retangular ABCD e vértice E, com pontos P sobre a aresta AE e Q sobre a aresta DE, destacando o quadrilátero BCQP.

AB = CD = \frac{\sqrt{3}}{2}
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1
AP = DQ = \frac{1}{2}\text{.}

Nessas condições, determine:

a) A medida de \overline{BP}.

b) A área do trapézio BCQP.

c) O volume da pirâmide BPQCE.

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Resolução comentada

a) Considere o triângulo ABE, com AB=\frac{\sqrt3}{2} e AE=BE=1. Ele é isósceles de base AB. Traçando a altura pelo vértice E, ela divide AB ao meio, então

\cos \hat A=\frac{AB/2}{AE}=\frac{\sqrt3}{4}.

No triângulo ABP, pela lei dos cossenos:

BP^2=AB^2+AP^2-2\cdot AB\cdot AP\cos\hat A=\frac34+\frac14-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{4}=1-\frac38=\frac58.

Logo BP=\sqrt{5/8}, ou seja, BP=\dfrac{\sqrt{10}}{4}.

b) Como AP=DQ=\frac12 e AE=DE=1, P e Q são os pontos médios de AE e DE. Então PQ é base média do triângulo ADE, de modo que PQ\parallel AD\parallel BC e PQ=\frac12. Assim BCQP é um trapézio de bases BC=1 e PQ=\frac12.

Por simetria, CQ=BP=\frac{\sqrt{10}}{4}, então o trapézio é isósceles. Cada lado "sobra" \frac{1-1/2}{2}=\frac14 na base maior, e a altura h é

h^2=\frac58-\frac1{16}=\frac9{16}\Rightarrow h=\frac34.
\text{Área}=\frac{(1+\frac12)}{2}\cdot\frac34=\frac9{16}.

Área =\dfrac{9}{16}

c) Tome a base BCQP e o vértice E. Falta a distância de E ao plano BCQP. Use coordenadas com A=(0,0,0), B=(\frac{\sqrt3}{2},0,0), D=(0,1,0) e C=(\frac{\sqrt3}{2},1,0).

Como E é equidistante dos quatro vértices, sua projeção é o centro do retângulo, (\frac{\sqrt3}{4},\frac12). A altura z de E vale z^2=1-\left(\frac{3}{16}+\frac14\right)=\frac9{16}, logo z=\frac34 e E=(\frac{\sqrt3}{4},\frac12,\frac34).

Como P é ponto médio de AE, P=(\frac{\sqrt3}{8},\frac14,\frac38).

O plano contém B, C e P. Com \vec{BC}=(0,1,0) e \vec{BP}=(-\frac{3\sqrt3}{8},\frac14,\frac38), o produto vetorial dá a normal (1,0,\sqrt3), e o plano é

x+\sqrt3\,z=\frac{\sqrt3}{2}.

Verificação com P: \frac{\sqrt3}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{\sqrt3}{2} ✓.

Distância de E ao plano:

d=\frac{\left|\frac{\sqrt3}{4}+\frac{3\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{2}\right|}{2}=\frac{\sqrt3}{4}.

Volume:

V=\frac13\cdot\frac9{16}\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{64}.

V=\dfrac{3\sqrt3}{64}

Assuntos: geometria espacial, pirâmides, lei dos cossenos.

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