Questão M09 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

Seja x no intervalo \left] 0, \dfrac{\pi}{2} \right[ satisfazendo a equação \tg x + \dfrac{2}{\sqrt{5}} \sec x = \dfrac{3}{2}.

Assim, calcule o valor de

a) \sec x.

b) \sen\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right).

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Resolução comentada

a) Escreva tudo em função de seno e cosseno. Como \cos x \neq 0 no intervalo, multiplique a equação por \cos x:

\sen x + \frac{2}{\sqrt5} = \frac{3}{2}\cos x \;\Rightarrow\; \sen x = \frac32\cos x - \frac{2}{\sqrt5}.

Substitua na relação fundamental \sen^2 x + \cos^2 x = 1, chamando c=\cos x:

\frac94 c^2 - \frac{6}{\sqrt5}c + \frac45 + c^2 = 1 \;\Rightarrow\; 65c^2 - 24\sqrt5\,c - 4 = 0.

O discriminante é \Delta = 2880 + 1040 = 3920 = (28\sqrt5)^2. Então

c = \frac{24\sqrt5 \pm 28\sqrt5}{130}.

A raiz com sinal - dá c=-\dfrac{2\sqrt5}{65}<0, que não serve, pois x está no 1º quadrante e \cos x>0. Fica

\cos x = \frac{52\sqrt5}{130} = \frac{2\sqrt5}{5} = \frac{2}{\sqrt5}.

Logo \sec x = \dfrac{1}{\cos x}:

\sec x = \dfrac{\sqrt5}{2}

b) Com \cos x = \dfrac{2}{\sqrt5}, a relação do item anterior dá

\sen x = \frac32\cdot\frac{2}{\sqrt5} - \frac{2}{\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}.

Conferência: \sen^2 x+\cos^2 x = \frac15+\frac45 = 1, e \tg x + \frac{2}{\sqrt5}\sec x = \frac12 + 1 = \frac32.

Use agora a fórmula do seno da soma:

\sen\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2}(\sen x + \cos x) = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt5} = \frac{3\sqrt2}{2\sqrt5} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.

\sen\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}

Assuntos: equações trigonométricas, relação fundamental, seno da soma.

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