Questão M08 da 2ª fase da FUVEST 2009
Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x^2 + mx + 2.
Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).
b) Determine os valores de m \in \mathbb{R} para os quais a imagem de f contém o conjunto \{y \in \mathbb{R} : y \ge 1\}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto \{y \in \mathbb{R} : y \ge 1\} e, além disso, f é crescente no conjunto \{x \in \mathbb{R} : x \ge 0\}.
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y \ge 2, o único valor de x \ge 0 tal que f(x) = y.
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Resolução comentada
a) Completando quadrados, f(x)=\left(x+\frac{m}{2}\right)^2+2-\frac{m^2}{4}. Logo o vértice tem
Vértice: \left(-\dfrac{m}{2},\ 2-\dfrac{m^2}{4}\right).
b) Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola tem concavidade para cima e o menor valor de f é y_v. A imagem é [\,2-\frac{m^2}{4},+\infty).
Para que ela contenha \{y\ge 1\}, o mínimo precisa ser no máximo 1:
m\le -2 ou m\ge 2.
c) A imagem é exatamente \{y\ge 1\} quando o mínimo vale 1: 2-\frac{m^2}{4}=1, ou seja, m^2=4 e m=\pm 2.
A função é crescente em x\ge 0 quando o vértice está à esquerda de 0 (ou sobre ele), isto é, -\frac{m}{2}\le 0, o que dá m\ge 0. Entre \pm2, serve apenas m=2 (com m=-2 o vértice está em x=1 e a função decresce em [0,1]).
m=2, ou seja, f(x)=x^2+2x+2.
d) Para m=2, f(x)=(x+1)^2+1. Então f(x)=y equivale a
Como x\ge 0, temos x+1\ge 1>0, então só vale o sinal positivo: x=-1+\sqrt{y-1}. Para y\ge 2, \sqrt{y-1}\ge 1, logo x\ge 0, como exigido, e o valor é único.
x=\sqrt{y-1}-1.
Assuntos: função quadrática, vértice da parábola, imagem de função.
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