Questão M07 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

No plano cartesiano Oxy, a circunferência \mathcal{C} tem centro no ponto A = (-5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.

Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Escreva uma equação para a circunferência \mathcal{C}.

c) Calcule a área do triângulo APQ.

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Resolução comentada

a) O raio da circunferência é a distância de A à reta t, porque \mathcal{C} é tangente a t:

r=\frac{|4(-5)-3(1)-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{5}=5.

O ponto P é o pé da perpendicular a t traçada por A. Essa perpendicular tem a direção do vetor normal (4,-3), e (4,-3) tem módulo 5, igual ao raio. Basta, então, andar de A até t nessa direção. O sinal 4x-3y-2 vale -25 em A, então precisamos ir no sentido de (4,-3):

P=A+(4,-3)=(-5+4,\;1-3)=(-1,-2).

Conferindo: 4(-1)-3(-2)-2=-4+6-2=0, logo P\in t. Além disso, AP=\sqrt{16+9}=5=r.

P=(-1,-2)

b) O centro é (-5,1) e o raio é 5:

(x+5)^2+(y-1)^2=25.

(x+5)^2+(y-1)^2=25

c) Q está no eixo Ox, então y=0. Substituindo em t: 4x-2=0, logo x=\tfrac12 e Q=\left(\tfrac12,0\right).

Como AP é perpendicular a t e Q\in t, o triângulo APQ é retângulo em P. Os catetos são AP=5 e

PQ=\sqrt{\left(\tfrac12+1\right)^2+(0+2)^2}=\sqrt{\tfrac94+4}=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac52.

Portanto,

\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac52=\frac{25}{4}.

Área =\dfrac{25}{4}

Assuntos: geometria analítica, circunferência, distância entre ponto e reta.

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