Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2009
Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
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Resolução comentada
a) As garrafas são todas de marcas diferentes, então o lote tem 4+5+6=15 garrafas distintas. Escolher 10 delas é uma combinação, pois a ordem não importa:
3003 maneiras.
b) Escolhemos separadamente em cada país e multiplicamos pelo princípio multiplicativo:
- 2 das 4 espanholas: \binom{4}{2}=6
- 4 das 5 italianas: \binom{5}{4}=5
- 4 das 6 francesas: \binom{6}{4}=15
450 maneiras.
c) O espaço amostral é o do item (a), com 3003 escolhas igualmente prováveis.
Casos favoráveis: exatamente 4 italianas, e entre as outras 6 garrafas pelo menos uma espanhola e pelo menos uma francesa.
- As 4 italianas: \binom{5}{4}=5 maneiras.
- As outras 6 garrafas saem das 10 não italianas (4 espanholas e 6 francesas): \binom{10}{6}=210 maneiras.
- Desse total, tiramos os casos em que falta um dos países. Sem espanhola, as 6 são francesas: \binom{6}{6}=1 caso. Sem francesa, seriam 6 espanholas, mas só há 4: 0 caso.
- Restam 210-1=209 maneiras.
Casos favoráveis: 5\cdot209=1045.
P=\dfrac{95}{273} (cerca de 34,8%).
Assuntos: combinatória, probabilidade.
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