Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é \frac{1}{2}. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.

Nessas condições, determine:

a) A razão da PG.

b) A soma dos três primeiros termos da PG.

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Resolução comentada

a) Seja a_1 o primeiro termo e q<0 a razão. As duas condições do enunciado são:

S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac12 \qquad\text{e}\qquad a_7-a_2=a_1q^6-a_1q=a_1q(q^5-1)=3.

Dividindo a segunda equação pela primeira, o a_1 some:

\frac{a_1q(q^5-1)}{\dfrac{a_1(1-q^5)}{1-q}}=\frac{3}{1/2}=6.

Como q^5-1=-(1-q^5), o lado esquerdo vale -q(1-q)=q^2-q. Então:

q^2-q-6=0 \Rightarrow q=3 \text{ ou } q=-2.

O enunciado diz que a razão é negativa, logo a razão é q=-2.

b) Com q=-2, usamos S_5=\frac12 para achar a_1:

S_5=\frac{a_1\,(1-(-2)^5)}{1-(-2)}=\frac{a_1\cdot 33}{3}=11a_1=\frac12 \Rightarrow a_1=\frac1{22}.

Verificação: a_7-a_2=a_1(q^6-q)=\frac1{22}(64+2)=3. ✓

Os três primeiros termos são \frac1{22},\ -\frac2{22},\ \frac4{22}. Somando:

S_3=\frac{1-2+4}{22}=\frac{3}{22}.

A soma dos três primeiros termos é \dfrac{3}{22}.

Assuntos: progressão geométrica, soma dos termos de uma PG.

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