Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados \overline{AB}, \overline{AC} e \overline{BC} do triângulo. Além disso, os ângulos A\hat{F}E e C\hat{G}F são retos e a medida do segmento \overline{AF} é x.

Triângulo equilátero ABC com ponto F sobre AC, E sobre AB e G sobre BC. Os segmentos FE e FG são desenhados de modo que os ângulos AFE e CGF são retos. A medida de AF é indicada por x.

Assim, determine:

a) A área do triângulo AFE em função de x.

b) O valor de x para o qual o ângulo F\hat{E}G também é reto.

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Resolução comentada

a) No triângulo AFE, o ângulo em F é reto e o ângulo em A vale 60^\circ, pois o triângulo ABC é equilátero. O cateto AF = x é adjacente a A e FE é o cateto oposto, então:

FE = AF\cdot \tg 60^\circ = x\sqrt{3}

A área é metade do produto dos catetos:

S = \frac{x\cdot x\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2}x^2

Área =\dfrac{\sqrt3}{2}x^2.

b) Vamos escrever os lados do triângulo FEG em função de x e impor o Teorema de Pitágoras, com hipotenusa FG (ângulo reto em E).

  1. Em AFE: AE = \dfrac{x}{\cos 60^\circ} = 2x e FE^2 = 3x^2.
  2. CF = 1-x. No triângulo CGF, de ângulo reto em G e \hat C = 60^\circ: CG = \dfrac{1-x}{2} e FG = \dfrac{\sqrt3}{2}(1-x), logo FG^2 = \dfrac{3(1-x)^2}{4}.
  3. BE = 1-2x e BG = 1-\dfrac{1-x}{2} = \dfrac{1+x}{2}.
  4. Lei dos cossenos no triângulo BEG, com \hat B = 60^\circ:
EG^2 = BE^2 + BG^2 - BE\cdot BG = (1-2x)^2 + \frac{(1+x)^2}{4} - \frac{(1-2x)(1+x)}{2} = \frac{3-12x+21x^2}{4}
  1. Condição FE^2 + EG^2 = FG^2:
3x^2 + \frac{3-12x+21x^2}{4} = \frac{3(1-2x+x^2)}{4}

Multiplicando por 4: 12x^2 + 3 - 12x + 21x^2 = 3 - 6x + 3x^2, ou seja, 30x^2 - 6x = 0.

Como x\neq 0, temos x = \dfrac15. Esse valor é válido: AE = \dfrac25 < 1.

x = \dfrac15.

Assuntos: geometria plana, triângulos, lei dos cossenos.

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