Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por

\begin{cases} 4x + 2m^2y = 0 \\ 2mx + (2m - 1)y = 0 \end{cases}

Desse modo:

a) Resolva o sistema para m = 1.

b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.

c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x, y) = (\alpha, 1), sendo \alpha um número irracional.

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Resolução comentada

a) Para m=1 o sistema fica

\begin{cases}4x+2y=0\\2x+y=0\end{cases}

A primeira equação é o dobro da segunda, então elas são equivalentes e sobra uma só: y=-2x.

O sistema é possível e indeterminado, com soluções (x,y)=(x,-2x), x\in\mathbb{R}.

b) O sistema é homogêneo, então sempre admite (0,0). Ele tem infinitas soluções exatamente quando o determinante dos coeficientes é nulo:

4(2m-1)-2m^2\cdot 2m=0 \;\Rightarrow\; -4m^3+8m-4=0 \;\Rightarrow\; m^3-2m+1=0.

Como m=1 é raiz, fatoramos: m^3-2m+1=(m-1)(m^2+m-1).

A equação m^2+m-1=0 tem raízes m=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}.

Logo, m=1 ou m=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}.

c) Substituindo (\alpha,1) nas equações:

  1. Da primeira: 4\alpha+2m^2=0, logo \alpha=-\dfrac{m^2}{2}.
  2. Da segunda: 2m\alpha+2m-1=0. Substituindo \alpha: -m^3+2m-1=0, isto é, m^3-2m+1=0.

As raízes são as do item (b): m=1 ou m=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}.

Agora testamos se \alpha é irracional:

  • m=1: \alpha=-\dfrac12, racional. Não serve.
  • m=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}: m^2=\dfrac{6-2\sqrt5}{4}=\dfrac{3-\sqrt5}{2}, então \alpha=-\dfrac{3-\sqrt5}{4}, irracional. Serve.
  • m=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}: m^2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}, então \alpha=-\dfrac{3+\sqrt5}{4}, irracional. Serve.

Portanto, m=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}.

Assuntos: sistemas lineares, determinante, números irracionais.

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