Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Matemática

Na figura, estão representadas a circunferência \mathcal{C}, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:

Circunferência de centro O e raio 2 contendo os pontos A e B em sua borda inferior. O segmento horizontal PQ contém o centro O, com segmentos verticais AP e BQ perpendiculares a PQ, delimitando uma região hachurada.

  1. O ponto O pertence ao segmento \overline{PQ}.
  2. OP = 1, OQ = \sqrt{2}.
  3. A e B são pontos da circunferência, \overline{AP} \perp \overline{PQ} e \overline{BQ} \perp \overline{PQ}.

Assim sendo, determine:

a) A área do triângulo APO.

b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em \mathcal{C}.

c) A área da região hachurada.

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Resolução comentada

a) Coloque O na origem. Como AP \perp PQ e A está na circunferência, o triângulo APO é retângulo em P, com hipotenusa OA=2 (o raio) e cateto OP=1. Por Pitágoras:

AP=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}

A área é

\frac{OP\cdot AP}{2}=\frac{1\cdot\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.

Área do triângulo APO: \dfrac{\sqrt{3}}{2}

b) Precisamos do ângulo central A\hat{O}B.

  • No triângulo APO: \cos(A\hat{O}P)=\dfrac{OP}{OA}=\dfrac12, logo A\hat{O}P=60^\circ.
  • No triângulo BQO, retângulo em Q com OQ=\sqrt2 e OB=2: \cos(B\hat{O}Q)=\dfrac{\sqrt2}{2}, logo B\hat{O}Q=45^\circ. Além disso, BQ=\sqrt{4-2}=\sqrt2.

Como P, O, Q são colineares, com O entre P e Q, e A e B estão do mesmo lado da reta PQ:

A\hat{O}B=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ=\frac{5\pi}{12}\ \text{rad}.

Comprimento do arco menor: 2\cdot\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{6}.

O comprimento total da circunferência é 2\pi\cdot 2=4\pi. O arco maior é, portanto,

4\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}.

Arcos: \dfrac{5\pi}{6} (menor) e \dfrac{19\pi}{6} (maior)

c) A região hachurada se divide em três partes:

  1. Triângulo APO, de área \dfrac{\sqrt3}{2}.
  2. Triângulo BQO, retângulo com catetos \sqrt2 e \sqrt2, de área \dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=1.
  3. Setor circular AOB, de ângulo \dfrac{5\pi}{12} e raio 2, de área \dfrac12\cdot 2^2\cdot\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{6}.

Somando:

\frac{\sqrt3}{2}+1+\frac{5\pi}{6}.

Área hachurada: \dfrac{\sqrt3}{2}+1+\dfrac{5\pi}{6}

Assuntos: geometria plana, circunferência e arcos, áreas.

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