Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2009
Na figura ao lado, a reta r tem equação y = 2\sqrt{2}\,x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B_0, B_1, B_2, B_3 estão na reta r, sendo B_0 = (0,1). Os pontos A_0, A_1, A_2, A_3 estão no eixo Ox, com A_0 = \text{O} = (0,0). O ponto D_i pertence ao segmento \overline{A_i B_i}, para 1 \le i \le 3. Os segmentos \overline{A_1 B_1}, \overline{A_2 B_2}, \overline{A_3 B_3} são paralelos ao eixo Oy, os segmentos \overline{B_0 D_1}, \overline{B_1 D_2}, \overline{B_2 D_3} são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre B_i e B_{i+1} é igual a 9, para 0 \le i \le 2.
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A_1, A_2, A_3.
b) Sendo R_i o retângulo de base A_i A_{i+1} e altura A_{i+1} D_{i+1}, para 0 \le i \le 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R_0, R_1 e R_2.
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Resolução comentada
a) Considere o triângulo B_iD_{i+1}B_{i+1}. Ele é retângulo em D_{i+1}, com cateto horizontal B_iD_{i+1} e cateto vertical D_{i+1}B_{i+1}. A hipotenusa é B_iB_{i+1}=9.
Como B_i e B_{i+1} estão na reta r, a razão entre o cateto vertical e o horizontal é o coeficiente angular de r, que é 2\sqrt{2}. Chamando o cateto horizontal de h, o vertical vale 2\sqrt{2}\,h. Por Pitágoras:
Cada passo avança 3 unidades em x e 2\sqrt{2}\cdot 3=6\sqrt{2} em y. Como A_0=(0,0), as abscissas de A_1, A_2 e A_3 são 3, 6 e 9.
A_1, A_2 e A_3 têm abscissas 3, 6 e 9.
b) Todo retângulo R_i tem base A_iA_{i+1}=3.
A altura A_{i+1}D_{i+1} é a ordenada de D_{i+1}. Como \overline{B_iD_{i+1}} é horizontal, essa ordenada é igual à de B_i. As ordenadas dos B_i são:
- B_0: y=1.
- B_1: y=1+6\sqrt{2}.
- B_2: y=1+12\sqrt{2}.
A soma das áreas é a base multiplicada pela soma das alturas:
S = 9+54\sqrt{2}
Assuntos: geometria analítica, reta e coeficiente angular, área de retângulos.
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