Questão F06 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Física

Em um grande tanque, uma haste vertical sobe e desce continuamente sobre a superfície da água, em um ponto P, com freqüência constante, gerando ondas, que são fotografadas em diferentes instantes. A partir dessas fotos, podem ser construídos esquemas, onde se representam as cristas (regiões de máxima amplitude) das ondas, que correspondem a círculos concêntricos com centro em P. Dois desses esquemas estão apresentados ao lado, para um determinado instante t_0 = 0\text{ s} e para outro instante posterior, t = 2\text{ s}. Ao incidirem na borda do tanque, essas ondas são refletidas, voltando a se propagar pelo tanque, podendo ser visualizadas através de suas cristas. Considerando tais esquemas:

Dois esquemas sobre malha quadriculada representando cristas de ondas circulares concêntricas centradas no ponto P. À esquerda de cada malha, uma barra vertical de 6 quadrículas indica a medida de 3 m. No esquema superior, intitulado 'Ondas no instante t₀ = 0 s', há três cristas circulares concêntricas com raios de 1, 2 e 3 quadrículas a partir de P. No esquema inferior, intitulado 'Ondas no instante t = 2 s', há quatro cristas circulares concêntricas com raios de 1, 2, 3 e 4 quadrículas a partir de P, onde a crista mais externa tangencia a linha horizontal que delimita a faixa cinza inferior identificada como 'Borda'.

a) Estime a velocidade de propagação V, em \text{m/s}, das ondas produzidas na superfície da água do tanque.

b) Estime a freqüência f, em \text{Hz}, das ondas produzidas na superfície da água do tanque.

c) Represente, na folha de respostas, as cristas das ondas que seriam visualizadas em uma foto obtida no instante t = 6{,}0\text{ s}, incluindo as ondas refletidas pela borda do tanque.

NOTE E ADOTE:
Ondas, na superfície da água, refletidas por uma borda vertical e plana, propagam-se como se tivessem sua origem em uma imagem da fonte, de forma semelhante à luz refletida por um espelho.

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Resolução comentada

a) A barra de 3 m ocupa 6 quadrículas, então 1 quadrícula equivale a 0{,}5\ \text{m}.

Entre t_0=0 e t=2\ \text{s}, a crista mais externa passou de 3 para 4 quadrículas de raio. Ela avançou 1 quadrícula, ou seja, 0{,}5\ \text{m}:

V=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{0{,}5\ \text{m}}{2\ \text{s}}=0{,}25\ \text{m/s}

V\approx 0{,}25\ \text{m/s}

b) A distância entre cristas consecutivas é o comprimento de onda: \lambda = 1 quadrícula =0{,}5\ \text{m}.

Pela equação fundamental da ondulação:

f=\frac{V}{\lambda}=\frac{0{,}25}{0{,}5}=0{,}5\ \text{Hz}

Isso confere com as figuras. Em 2 s, que é meio período a mais que... na verdade T=1/f=2\ \text{s}, e o padrão ganhou exatamente uma crista nesse intervalo.

f\approx 0{,}5\ \text{Hz}

c) Entre t=2\ \text{s} e t=6\ \text{s} passam-se 4 s, e nesse tempo a onda anda 0{,}25\cdot 4=1\ \text{m}, isto é, 2 quadrículas. A frente de onda, que estava com raio de 4 quadrículas, chega a 6 quadrículas. Como as cristas distam 1 quadrícula entre si, há cristas de raios 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quadrículas (a frente tangenciou a borda em t=2\ \text{s}, então P está a 4 quadrículas dela).

A reflexão equivale a uma fonte imagem P', simétrica de P em relação à borda. Ela fica 4 quadrículas abaixo da borda, ou 8 abaixo de P, na mesma vertical. As ondas refletidas são círculos de raios 1 a 6 centrados em P', mas só a parte acima da borda existe no tanque.

O desenho fica assim:

  1. Circunferências completas centradas em P com raios 1, 2, 3 e 4 quadrículas. A de raio 4 tangencia a borda.
  2. Arco da circunferência de raio 5 centrada em P, só acima da borda. Ele encontra a borda a 3 quadrículas da vertical de P, para cada lado.
  3. Arco da circunferência de raio 6 centrada em P, só acima da borda, com a mesma construção.
  4. Arco de raio 4 centrado em P', que apenas tangencia a borda no mesmo ponto da circunferência de raio 4 de P.
  5. Arco de raio 5 centrado em P', que sobe 1 quadrícula acima da borda e encontra a borda nos mesmos pontos do arco 2 (a 3 quadrículas da vertical).
  6. Arco de raio 6 centrado em P', que sobe 2 quadrículas acima da borda (ponto mais alto a 2 quadrículas abaixo de P) e encontra a borda a \sqrt{36-16}\approx 4{,}5 quadrículas da vertical.

Resposta: cristas diretas de raios 1 a 4 (completas) e 5 e 6 (só acima da borda), mais os arcos refletidos de raios 5 e 6 (e a tangência do de raio 4) centrados em P', 8 quadrículas abaixo de P.

Assuntos: ondulatória, reflexão de ondas, velocidade e frequência de ondas.

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