Questão F05 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Física

Um grande cilindro, com ar inicialmente à pressão \mathbf{P}_1 e temperatura ambiente (\mathbf{T}_1 = 300\text{ K}), quando aquecido, pode provocar a elevação de uma plataforma \mathbf{A}, que funciona como um pistão, até uma posição mais alta. Tal processo exemplifica a transformação de calor em trabalho, que ocorre nas máquinas térmicas, à pressão constante. Em uma dessas situações, o ar contido em um cilindro, cuja área da base \mathbf{S} é igual a 0{,}16\text{ m}^2, sustenta uma plataforma de massa \mathbf{M_A} = 160\text{ kg} a uma altura \mathbf{H}_1 = 4{,}0\text{ m} do chão (situação I). Ao ser aquecido, a partir da queima de um combustível, o ar passa a uma temperatura \mathbf{T}_2, expandindo-se e empurrando a plataforma até uma nova altura \mathbf{H}_2 = 6{,}0\text{ m} (situação II). Para verificar em que medida esse é um processo eficiente, estime:

Esquema de um cilindro com pistão que sustenta uma plataforma A sob pressão atmosférica P₀ e aceleração da gravidade g: na Situação I, o gás a uma pressão P₁ e temperatura T₁ ocupa uma altura H₁ = 4,0 m; na Situação II, o gás sob a mesma pressão P₁ e temperatura T₂ se expande até a altura H₂ = 6,0 m.

a) A pressão \mathbf{P}_1 do ar dentro do cilindro, em pascals, durante a operação.

b) A temperatura \mathbf{T}_2 do ar no cilindro, em kelvins, na situação II.

c) A eficiência do processo, indicada pela razão \mathbf{R} = \Delta \mathbf{E}_\text{p}/\mathbf{Q}, onde \Delta \mathbf{E}_\text{p} é a variação da energia potencial da plataforma, quando ela se desloca da altura \text{H}_1 para a altura \text{H}_2, e \mathbf{Q}, a quantidade de calor recebida pelo ar do cilindro durante o aquecimento.

NOTE E ADOTE:
\text{PV} = \text{nRT}; \text{P}_\text{atmosférica} = \text{P}_0 = 1{,}00 \times 10^5\text{ Pa}; 1\text{ Pa} = 1\text{ N/m}^2
Calor específico do ar a pressão constante \text{C}_\text{p} \approx 1{,}0 \times 10^3\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}
Densidade do ar a 300\text{ K} \approx 1{,}1\text{ kg/m}^3

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Considerando g = 10\ \text{m/s}^2 (o enunciado não informa), a plataforma está em equilíbrio. A força para cima do gás é igual à soma da força da pressão atmosférica com o peso da plataforma:

P_1 S = P_0 S + M_A g \Rightarrow P_1 = P_0 + \frac{M_A g}{S}
P_1 = 1{,}00\times10^5 + \frac{160\cdot 10}{0{,}16} = 1{,}00\times10^5 + 1{,}0\times10^4

P_1 = 1{,}1\times10^5\ \text{Pa}

b) A plataforma sobe em equilíbrio, então a pressão do gás continua P_1. O processo é isobárico e, pela lei dos gases, V/T é constante. Com o volume V = S\,H e a mesma base S:

\frac{H_1}{T_1} = \frac{H_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = T_1\,\frac{H_2}{H_1} = 300\cdot\frac{6{,}0}{4{,}0}

T_2 = 450\ \text{K}

c) Calculamos primeiro a variação de energia potencial da plataforma, que subiu \Delta H = 2{,}0\ \text{m}:

\Delta E_p = M_A g \Delta H = 160\cdot10\cdot2{,}0 = 3{,}2\times10^3\ \text{J}

Para o calor, o aquecimento é isobárico e vale Q = m\,C_p\,\Delta T. A massa de ar, estimada com a densidade dada, é:

m = \rho\, S\, H_1 = 1{,}1\cdot0{,}16\cdot4{,}0 \approx 0{,}70\ \text{kg}
Q = 0{,}704\cdot1{,}0\times10^3\cdot(450-300) \approx 1{,}06\times10^5\ \text{J}

A eficiência é:

R = \frac{\Delta E_p}{Q} = \frac{3{,}2\times10^3}{1{,}06\times10^5} \approx 0{,}03

R \approx 0{,}03 (cerca de 3%), ou seja, o processo é pouco eficiente.

Assuntos: transformação isobárica, gases ideais, calor sensível e energia potencial.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão F05 no caderno Física da 2ª fase da FUVEST 2009