Questão F04 da 2ª fase da FUVEST 2009
Na montagem de uma exposição, um decorador propôs a projeção, através de uma lente pendurada em um suporte fixo, da imagem de duas bandeirinhas luminosas, \mathbf{B_1} e \mathbf{B_2}, sobre uma tela. Em sua primeira tentativa, no entanto, apenas a imagem de \text{B}_1 pôde ser vista na tela (primeira montagem). Para viabilizar, então, sua proposta, o decorador deslocou a lente para baixo, obtendo, assim, as imagens das duas bandeirinhas sobre a tela (segunda montagem). As bandeirinhas encontram-se reproduzidas na folha de respostas, assim como, em linhas tracejadas, a posição da lente e a imagem obtida na primeira montagem. Para visualizar as imagens que passam a ser observadas na segunda montagem, utilizando o esquema da folha de respostas:
a) Determine, a partir da imagem correspondente à primeira montagem (em linha tracejada), a posição do foco da lente, identificando-a na figura pela letra F.
b) Construa a imagem completa que a bandeirinha \mathbf{B_2} projeta sobre a tela, na segunda montagem, traçando as linhas de construção necessárias e indicando as imagens de C e D, por C’ e D’, respectivamente.
c) Construa a imagem completa que a bandeirinha \mathbf{B_1} projeta sobre a tela, na segunda montagem, traçando as linhas de construção necessárias e indicando as imagens de A e B, por A’ e B’, respectivamente.
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Resolução comentada
a)
Como a imagem é projetada sobre uma tela, ela é real, e a lente utilizada é convergente. O eixo principal passa pelo centro óptico da lente e é perpendicular ao seu plano.
Na primeira montagem, escolha um vértice da bandeirinha fora do eixo e trace, a partir dele, um raio paralelo ao eixo principal até a lente. Depois, ligue o ponto de incidência na lente ao vértice correspondente da imagem tracejada. O prolongamento desse raio refratado encontra o eixo principal no foco imagem F.
Se p é a distância das bandeirinhas à lente e q é a distância da lente à tela, a equação dos pontos conjugados fornece:
A figura enviada não inclui a folha de respostas com a imagem tracejada e os vértices identificados; portanto, não permite marcar graficamente a posição exata solicitada.
O foco F fica no eixo principal, do lado da tela, entre a lente e a tela, a uma distância f=\frac{pq}{p+q} da lente.
b)
Na segunda montagem, o centro óptico passa a ocupar uma posição mais baixa, que chamaremos de O_2. Trace o novo eixo principal passando por O_2. O foco também se desloca para baixo, mas sua distância à lente continua sendo f.
Para localizar C' e D', faça a construção para cada ponto:
- O raio que atravessa O_2 segue sem desvio até a tela.
- O raio paralelo ao novo eixo principal, ao atravessar a lente, passa pelo novo foco imagem.
O encontro desses raios na tela determina o ponto correspondente. Repita a construção para os demais vértices e una suas imagens, reproduzindo todo o contorno da bandeirinha.
Como as distâncias p e q não mudaram, o aumento linear continua sendo -q/p. Assim, a imagem apresenta inversão tanto vertical quanto horizontal em relação ao novo eixo.
A imagem de \mathbf{B_2} é real e invertida, em torno do novo eixo principal, com C' e D' determinados pelo encontro dos raios na tela.
c)
Para construir a imagem de \mathbf{B_1}, utilize o mesmo centro óptico O_2 e o mesmo foco da segunda montagem. Partindo de A e de B, trace um raio pelo centro óptico, sem desvio, e outro paralelo ao eixo principal, que será refratado passando pelo foco imagem. Seus encontros na tela determinam A' e B'.
A posição vertical de cada imagem pode ser conferida pela relação
em que y e y' são medidos a partir do novo eixo principal, com sentido positivo para cima. Como \mathbf{B_1} está acima desse eixo, sua imagem fica abaixo dele e abaixo da imagem de \mathbf{B_2}.
Complete o contorno ligando as imagens dos vértices correspondentes. O tamanho da imagem permanece igual ao da primeira montagem, pois p e q não se alteraram.
A imagem de \mathbf{B_1} é real e invertida, situada abaixo da imagem de \mathbf{B_2}, com A' e B' localizados na tela pelos raios de construção.
Assuntos: lentes convergentes, construção de imagens, aumento linear.
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