Questão F03 da 2ª fase da FUVEST 2009

2ª fase · Física

Um acrobata, de massa \mathbf{M_A} = 60\ \text{kg}, quer realizar uma apresentação em que, segurando uma corda suspensa em um ponto Q fixo, pretende descrever um círculo de raio \mathbf{R} = 4{,}9\ \text{m}, de tal forma que a corda mantenha um ângulo de 45^\circ com a vertical. Visando garantir sua total segurança, há uma recomendação pela qual essa corda deva ser capaz de suportar uma tensão de, no mínimo, três vezes o valor da tensão a que é submetida durante a apresentação. Para testar a corda, com ela parada e na vertical, é pendurado em sua extremidade um bloco de massa \mathbf{M_0}, calculada de tal forma que a tensão na corda atenda às condições mínimas estabelecidas pela recomendação de segurança. Nessa situação:

Dois esquemas. À esquerda, o acrobata de massa M_A está preso a uma corda suspensa no ponto fixo Q, em um suporte horizontal. A corda faz 45° com a vertical tracejada que liga Q ao centro de uma órbita circular representada por uma elipse pontilhada. O raio da órbita é indicado por R, e uma seta curva junto ao acrobata indica o sentido do movimento. Uma seta vertical para baixo está identificada por g. À direita, na “Situação de teste”, um bloco de massa M_0 está pendurado em uma corda vertical presa ao ponto Q de um suporte horizontal; uma seta vertical para baixo está identificada por g.

a) Represente, no esquema da folha de respostas, a direção e o sentido das forças que agem sobre o acrobata, durante sua apresentação, identificando-as, por meio de um desenho em escala.

b) Estime o tempo \mathbf{t_A}, em segundos, que o acrobata leva para dar uma volta completa em sua órbita circular.

c) Estime o valor da massa \mathbf{M_0}, em kg, que deve ser utilizada para realizar o teste de segurança.

NOTE E ADOTE:
Força centrípeta F_C = m\,v^2/R
Adote \pi \cong 3

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Resolução comentada

a) Duas forças agem sobre o acrobata:

  • o peso \vec P, vertical para baixo, de módulo M_A g = 60\cdot 10 = 600\ \text{N};
  • a tração \vec T, na direção da corda, apontando do acrobata para Q (para cima e para o centro da órbita).

O movimento é circular e horizontal, então a resultante é horizontal e aponta para o centro da órbita (resultante centrípeta). Logo, a componente vertical de \vec T equilibra o peso: T\cos 45^\circ = P. Como o ângulo é de 45^\circ, a componente horizontal vale T\sen 45^\circ = P.

No desenho em escala: trace \vec P com, por exemplo, 3 cm para baixo; a componente vertical de \vec T também tem 3 cm para cima e a horizontal, 3 cm para o centro. \vec T é a diagonal desse quadrado, com cerca de 3\sqrt2 \approx 4{,}2 cm, ao longo da corda. A resultante \vec F_C (3 cm, horizontal, para o centro) é a soma de \vec P e \vec T.

Forças: peso (vertical, para baixo) e tração (ao longo da corda, para Q), com T = \sqrt2\,P e resultante horizontal centrípeta igual a P.

b) Resultante centrípeta:

F_C = P\,\tg 45^\circ = M_A g \;\Rightarrow\; \frac{M_A v^2}{R} = M_A g \;\Rightarrow\; v^2 = gR

Com g = 10\ \text{m/s}^2 e R = 4{,}9\ \text{m}:

v^2 = 49 \;\Rightarrow\; v = 7\ \text{m/s}

O período é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade, com \pi \cong 3:

t_A = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\cdot 3\cdot 4{,}9}{7} = 4{,}2\ \text{s}

t_A \approx 4{,}2\ \text{s}

c) Durante a apresentação, a tração é:

T = \frac{M_A g}{\cos 45^\circ} = \sqrt2\cdot 600 \approx 1{,}4\cdot 600 = 840\ \text{N}

A corda deve suportar no mínimo o triplo disso:

T_{\text{teste}} = 3\cdot 840 = 2520\ \text{N}

No teste, com a corda parada e na vertical, a tração é igual ao peso do bloco:

M_0 g = 2520 \;\Rightarrow\; M_0 = \frac{2520}{10} = 252\ \text{kg}

M_0 \approx 250\ \text{kg} (cerca de 252\ \text{kg})

Assuntos: dinâmica do movimento circular, forças e resultante centrípeta, tração em cordas.

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