Questão F02 da 2ª fase da FUVEST 2009
Para testar a elasticidade de uma bola de basquete, ela é solta, a partir de uma altura \text{H}_0, em um equipamento no qual seu movimento é monitorado por um sensor. Esse equipamento registra a altura do centro de massa da bola, a cada instante, acompanhando seus sucessivos choques com o chão. A partir da análise dos registros, é possível, então, estimar a elasticidade da bola, caracterizada pelo coeficiente de restituição \mathbf{C_R}. O gráfico apresenta os registros de alturas, em função do tempo, para uma bola de massa \text{M} = 0{,}60\text{ kg}, quando ela é solta e inicia o movimento com seu centro de massa a uma altura \text{H}_0 = 1{,}6\text{ m}, chocando-se sucessivas vezes com o chão. A partir dessas informações:
a) Represente, no Gráfico I da folha de respostas, a energia potencial da bola, \mathbf{E_P}, em joules, em função do tempo, indicando os valores na escala.
b) Represente, no Gráfico II da folha de respostas, a energia mecânica total da bola, \mathbf{E_T}, em joules, em função do tempo, indicando os valores na escala.
c) Estime o coeficiente de restituição \mathbf{C_R} dessa bola, utilizando a definição apresentada abaixo.
O coeficiente de restituição, \mathbf{C_R} = \text{V}_\text{R}/\text{V}_\text{I}, é a razão entre a velocidade com que a bola é rebatida pelo chão (\text{V}_\text{R}) e a velocidade com que atinge o chão (\text{V}_\text{I}), em cada choque. Esse coeficiente é aproximadamente constante nas várias colisões.
NOTE E ADOTE:
Desconsidere a deformação da bola e a resistência do ar.
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Resolução comentada
a) Tomando o chão como referência (H=0), a energia potencial é E_P = M g H. Com g = 10\ \text{m/s}^2, Mg = 0{,}60\cdot 10 = 6{,}0\ \text{N}, então E_P = 6{,}0\,H. O gráfico de E_P tem a mesma forma do gráfico de H(t), com a escala vertical multiplicada por 6.
Os valores lidos no gráfico de H e os E_P correspondentes são:
- Em t=0: H_0 = 1{,}6\ \text{m}, então E_P = 6{,}0\cdot 1{,}6 = 9{,}6\ \text{J}.
- Em t_1, t_2 e t_3 (bola no chão): E_P = 0.
- Máximo do 1º repique: H = 0{,}40\ \text{m}, então E_P = 2{,}4\ \text{J}.
- Máximo do 2º repique: H \approx 0{,}10\ \text{m}, então E_P = 0{,}60\ \text{J}.
- Máximo do 3º repique: H \approx 0{,}025\ \text{m}, então E_P \approx 0{,}15\ \text{J}.
O gráfico é, portanto, uma sequência de arcos de parábola. O primeiro parte de 9,6 J e chega a zero em t_1. Os arcos seguintes têm picos de 2,4 J, 0,6 J e 0,15 J, com E_P=0 em t_1, t_2 e t_3.
Resposta: arcos de parábola com picos de 9,6 J (em t=0), 2,4 J, 0,6 J e ≈0,15 J, e E_P=0 em t_1, t_2 e t_3.
b) Sem resistência do ar, a energia mecânica se conserva entre dois choques. Ela só diminui no choque com o chão. No ponto mais alto de cada trecho a velocidade é nula, então E_T = E_P máxima daquele trecho:
- de 0 a t_1: E_T = 9{,}6\ \text{J};
- de t_1 a t_2: E_T = 2{,}4\ \text{J};
- de t_2 a t_3: E_T = 0{,}60\ \text{J};
- após t_3: E_T \approx 0{,}15\ \text{J}.
O gráfico é uma "escada" decrescente, com patamares horizontais e quedas bruscas em t_1, t_2 e t_3. A cada choque a energia cai a 1/4 do valor anterior, o que é consistente com o item seguinte.
Resposta: patamares constantes de 9,6 J, 2,4 J, 0,60 J e ≈0,15 J, com quedas bruscas em t_1, t_2 e t_3.
c) Pela conservação da energia, a velocidade logo antes do choque (altura H_0) e a logo depois (altura H_1) são:
O coeficiente de restituição é então:
Conferindo no 2º choque: \sqrt{0{,}10/0{,}40} = 0{,}50, o mesmo valor, como o enunciado afirma.
Resposta: C_R \approx 0{,}50.
Assuntos: conservação da energia mecânica, coeficiente de restituição, energia potencial gravitacional.
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