Questão F08 da 2ª fase da FUVEST 2008

Question

Duas pequenas esferas iguais, A e B, carregadas, cada uma, com uma carga elétrica Q igual a -\,4{,}8 \times 10^{-9}\text{ C}, estão fixas e com seus centros separados por uma distância de 12\text{ cm}. Deseja-se fornecer energia cinética a um elétron, inicialmente muito distante das esferas, de tal maneira que ele possa atravessar a região onde se situam essas esferas, ao longo da direção x, indicada na figura, mantendo-se eqüidistante das cargas.

Esquema mostrando duas esferas carregadas, A e B, alinhadas verticalmente e separadas por 12 cm (cada uma a 6 cm da linha tracejada horizontal correspondente ao eixo x). No ponto médio entre elas está o ponto P₀. Um elétron se desloca da esquerda para a direita ao longo do eixo x em direção a P₀.

a) Esquematize, na figura da página de respostas, a direção e o sentido das forças resultantes \mathbf{F}_1 e \mathbf{F}_2, que agem sobre o elétron quando ele está nas posições indicadas por \text{P}_1 e \text{P}_2.

b) Calcule o potencial elétrico V, em volts, criado pelas duas esferas no ponto \text{P}_0.

c) Estime a menor energia cinética E, em eV, que deve ser fornecida ao elétron, para que ele ultrapasse o ponto \text{P}_0 e atinja a região à direita de \text{P}_0 na figura.

NOTE E ADOTE:
Considere \text{V} = 0 no infinito.

NOTE E ADOTE:
Num ponto \text{P}, \text{V} = \text{KQ}/\text{r}, onde
\text{r} é a distância da carga \text{Q} ao ponto \text{P}.
\text{K} = 9 \times 10^9\ (\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2).
\text{q}_\text{e} = \text{carga do elétron} = -\,1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}.
1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão F08 da 2ª fase da FUVEST 2008

2ª fase · Física · Física: Potencial elétrico e energia potencial elétrica

Duas pequenas esferas iguais, A e B, carregadas, cada uma, com uma carga elétrica Q igual a -\,4{,}8 \times 10^{-9}\text{ C}, estão fixas e com seus centros separados por uma distância de 12\text{ cm}. Deseja-se fornecer energia cinética a um elétron, inicialmente muito distante das esferas, de tal maneira que ele possa atravessar a região onde se situam essas esferas, ao longo da direção x, indicada na figura, mantendo-se eqüidistante das cargas.

Esquema mostrando duas esferas carregadas, A e B, alinhadas verticalmente e separadas por 12 cm (cada uma a 6 cm da linha tracejada horizontal correspondente ao eixo x). No ponto médio entre elas está o ponto P₀. Um elétron se desloca da esquerda para a direita ao longo do eixo x em direção a P₀.

a) Esquematize, na figura da página de respostas, a direção e o sentido das forças resultantes \mathbf{F}_1 e \mathbf{F}_2, que agem sobre o elétron quando ele está nas posições indicadas por \text{P}_1 e \text{P}_2.

b) Calcule o potencial elétrico V, em volts, criado pelas duas esferas no ponto \text{P}_0.

c) Estime a menor energia cinética E, em eV, que deve ser fornecida ao elétron, para que ele ultrapasse o ponto \text{P}_0 e atinja a região à direita de \text{P}_0 na figura.

NOTE E ADOTE:
Considere \text{V} = 0 no infinito.

NOTE E ADOTE:
Num ponto \text{P}, \text{V} = \text{KQ}/\text{r}, onde
\text{r} é a distância da carga \text{Q} ao ponto \text{P}.
\text{K} = 9 \times 10^9\ (\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2).
\text{q}_\text{e} = \text{carga do elétron} = -\,1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}.
1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J}.

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Resolução comentada

a) As esferas A e B têm carga negativa e o elétron também. Logo, cada esfera repele o elétron, com força na direção da reta que une a esfera ao elétron.

Em \text{P}_1 e em \text{P}_2, que estão sobre o eixo x, as duas esferas ficam à mesma distância do elétron. Assim, as forças de A e B têm o mesmo módulo. Suas componentes verticais (uma para cima, outra para baixo) se cancelam. Sobram só as componentes horizontais, que se somam.

Em \text{P}_1 (à esquerda da reta AB): a repulsão empurra o elétron para longe das esferas, então \mathbf{F}_1 é horizontal, sobre o eixo x, para a esquerda.
Em \text{P}_2 (à direita da reta AB): \mathbf{F}_2 é horizontal, sobre o eixo x, para a direita.

Em \text{P}_0 a força resultante é nula.

Resposta: \mathbf{F}_1 e \mathbf{F}_2 são horizontais, ao longo de x, apontando para fora da reta AB: \mathbf{F}_1 para a esquerda e \mathbf{F}_2 para a direita.

b) O potencial é escalar, então basta somar o potencial de cada esfera. Cada uma está a r = 6\ \text{cm} = 0{,}06\ \text{m} de \text{P}_0:

V = 2\,\frac{KQ}{r} = 2\cdot\frac{9\times10^{9}\cdot(-4{,}8\times10^{-9})}{0{,}06}

V = 2\cdot(-720) = -1440\ \text{V}

Resposta: V = -1{,}44\times10^{3}\ \text{V}.

c) Ao longo do eixo x o elétron é sempre repelido para longe da reta AB. Ao se aproximar, ele é freado, e a energia potencial dele cresce até o máximo em \text{P}_0. Depois de \text{P}_0, a força passa a empurrá-lo para a direita. Para ultrapassar \text{P}_0, basta que ele chegue lá com energia cinética praticamente nula.

Pela conservação da energia, com V=0 no infinito (onde a energia potencial é nula), a energia cinética mínima é igual à energia potencial em \text{P}_0:

E = q_e V = (-1{,}6\times10^{-19})(-1440) = 2{,}3\times10^{-16}\ \text{J}

Em elétron-volts:

E = \frac{2{,}304\times10^{-16}}{1{,}6\times10^{-19}} = 1440\ \text{eV}

Resposta: E \approx 1{,}4\times10^{3}\ \text{eV}.

Assuntos: Potencial elétrico e energia potencial elétrica, Força elétrica e lei de Coulomb.

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Questão F08 no caderno Física da 2ª fase da FUVEST 2008