Questão 160 do ENEM 2025

2º dia · Matemática

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo

D = k + \tg[p(T + m)],

sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.

Gráfico no plano cartesiano da distância D em função do tempo T, mostrando a curva da função tangente com assíntotas verticais em (5 - 2π)/2 e (5 + 2π)/2, ponto de inflexão em (2,5; 30), e intervalo de T de 0 a 4 associado à altura da água no recipiente ao lado, apoiado sobre o tampo da mesa.

A expressão algébrica que representa a relação entre D e T é

  1. A
    D = 2{,}5 + \tg\left[30\left(T - \dfrac{5 - 2\pi}{2}\right)\right]
  2. B
    D = 4 + \tg\left[30\left(T + \dfrac{5}{2}\right)\right]
  3. C
    D = 4 + \tg\left[2{,}5\left(T + \dfrac{5 + 2\pi}{2}\right)\right]
  4. D
    D = 30 + \tg\left[\dfrac{1}{2}(T - 5)\right]
  5. E
    D = 30 + \tg\left[\dfrac{1}{2}\left(T - \dfrac{5}{2}\right)\right]
Resolução comentada

A função D = k + \tg[p(T+m)] é uma tangente deslocada. O ponto de inflexão (onde a curva cruza a linha central) é o centro do gráfico, e as assíntotas ficam a meio período de cada lado dele.

  1. O ponto de inflexão da figura é (2{,}5;\ 30). Na tangente, ele ocorre quando o argumento vale zero e D = k. Logo k = 30.

  2. Argumento nulo em T = 2{,}5: p(T+m)=0 quando T = -m = 2{,}5, então m = -2{,}5. O fator fica p\left(T - \dfrac{5}{2}\right).

  3. As assíntotas da tangente ocorrem quando o argumento vale \pm\dfrac{\pi}{2}. A assíntota da direita está em T=\dfrac{5+2\pi}{2} = 2{,}5+\pi, ou seja, a distância até o centro é \pi:

p\cdot\pi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow p = \frac{1}{2}.
  1. Conferindo a assíntota da esquerda: T = 2{,}5-\pi = \dfrac{5-2\pi}{2}, o que confere.

Assim,

D = 30 + \tg\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right].

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana por ter k=30 e p=1/2 corretos, errando só o deslocamento horizontal (5 em vez de 5/2).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa k=2{,}5 e p=30, trocando as coordenadas do ponto de inflexão e ignorando o período.
  • Busa k=4 (limite do tempo) e m=+5/2, com sinal trocado e p errado.
  • Ctoma k=4 e usa a coordenada da assíntota como deslocamento, com p=2{,}5 incorreto.
  • Dacerta k e p, mas desloca por T-5, o que centraria a curva em T=5 e não em 2{,}5.

Assuntos: função tangente, transformações de gráficos.

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