Questão 148 do ENEM 2024

2º dia · Matemática

Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura T, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo t, em minuto, pode ser modelada pela função T(t) = a + 80\text{ }b^t, representada no gráfico a seguir.

Gráfico de linha decrescente em um plano cartesiano com o título "Temperatura da caneca (em grau Celsius)". O eixo vertical indica a "Temperatura", com valores de 40 a 100, e o eixo horizontal indica o "Tempo (em minuto)", de 0 a 20. A curva decrescente parte do ponto (0, 100), passa aproximadamente pelo ponto (10, 60) e atinge o ponto (20, 40).

Os valores das constantes a e b são

  1. A
    a = 20; b = \log(0{,}5)
  2. B
    a = 100; b = 0{,}5
  3. C
    a = 20; b = (0{,}5)^{\frac{1}{10}}
  4. D
    a = 20; b = \dfrac{(40)^{\frac{1}{10}}}{80}
  5. E
    a = 20; b = 40
Resolução comentada

A função é T(t) = a + 80\,b^t. Vamos usar pontos do gráfico para achar a e b.\n\nEm t=0, b^0 = 1, então T(0) = a + 80. O gráfico mostra T(0)=100.\n\n1. a + 80 = 100, logo a = 20.\n\nAgora usamos outro ponto. Em t=10 o gráfico marca T=60:\n\n2. 20 + 80\,b^{10} = 60\n3. 80\,b^{10} = 40\n4. b^{10} = 0{,}5\n5. b = (0{,}5)^{\frac{1}{10}}\n\nConferindo com t=20: b^{20} = (b^{10})^2 = 0{,}25, então T(20) = 20 + 80\cdot 0{,}25 = 40, que coincide com o gráfico.\n\nComo 0<b<1, a função é decrescente, o que combina com a curva. Assim, a=20 e b=(0{,}5)^{\frac{1}{10}}.\n\nAlternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana por lembrar o cálculo 40/80, mas o expoente 1/10 deve ser aplicado à fração toda, não só ao 40.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a=20 correto, mas b=\log(0{,}5) é negativo, e b^t não seria definido para t real.
  • BToma a=100, o valor de T(0), esquecendo que T(0)=a+80; e b=0{,}5 daria T(10) quase igual a a.
  • DConfunde 80\,b^{10}=40 com b^{10}=40/80 isolando errado: coloca 40^{1/10}/80 em vez de (40/80)^{1/10}.
  • Eb=40 tornaria a função crescente, contrariando o gráfico.

Assuntos: função exponencial, leitura de gráfico.

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