Questão 146 do ENEM 2024

2º dia · Matemática

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

  1. A
    85
  2. B
    100
  3. C
    175
  4. D
    200
  5. E
    350
Resolução comentada

Custo da cerca. Há dois lados de comprimento L, a R$ 20,00 o metro, e dois lados de comprimento C, a R$ 15,00 o metro. Gastando o máximo permitido:

2L\cdot 20 + 2C\cdot 15 = 6000 \Rightarrow 40L + 30C = 6000 \Rightarrow 4L + 3C = 600

Área. Queremos maximizar A = L\cdot C. Da equação, C = \dfrac{600-4L}{3}, então:

A = L\cdot\frac{600-4L}{3} = \frac{-4L^2+600L}{3}

É uma parábola com concavidade para baixo, e o máximo fica no vértice, na média das raízes. As raízes são L=0 e L=150, logo:

L = \frac{0+150}{2} = 75\ \text{m}

Outro lado.

C = \frac{600-4\cdot 75}{3} = \frac{300}{3} = 100\ \text{m}

Conferência pela desigualdade das médias: o produto 4L\cdot 3C é máximo quando 4L=3C=300, ou seja, L=75 e C=100. Confere.

O galinheiro tem lados de 75 m e 100 m, e o maior deles mede 100 m.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A (85) engana quem para em L=75, o menor lado, ou se perde nas contas; a pergunta pede o maior lado, que é C=100.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá 85, valor que não sai da otimização; o lado L=75 é o menor, não o maior.
  • CAparece se o custo for tratado sem o fator 2 dos lados, o que desloca as medidas; não satisfaz o gasto de R$ 6 000,00.
  • DSeria o resultado ao ignorar um dos pares de lados ou usar só um lado de cada tipo; 200 m estoura o orçamento com área máxima.
  • EResulta de dividir o orçamento por um preço só, sem considerar os dois tipos de tela e a maximização da área.

Assuntos: função quadrática, otimização de área, valor máximo.

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