Questão 160 do ENEM 2023

2º dia · Matemática

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

  • algarismos de 0 a 9;
  • 26 letras minúsculas do alfabeto;
  • 26 letras maiúsculas do alfabeto;
  • 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

  • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
  • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
  • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere p_1, p_2 e p_3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

  1. A
    tipo I, pois p_1 < p_2 < p_3.
  2. B
    tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
  3. C
    tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
  4. D
    tipo III, pois p_3 < p_2 < p_1.
  5. E
    tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.
Resolução comentada

A probabilidade de acertar a senha ao acaso na primeira tentativa é 1 dividido pelo total de senhas possíveis. Assim, quanto maior o número de senhas, menor a probabilidade. Vamos contar cada tipo com o princípio multiplicativo.

Total de caracteres: 10 + 26 + 26 + 6 = 68. Letras: 52. Algarismos: 10. Especiais: 6.

  1. Tipo I: quatro caracteres distintos quaisquer: 68\cdot 67\cdot 66\cdot 65 \approx 1{,}95\times 10^7.
  2. Tipo II: três letras distintas, um algarismo, um especial: 52\cdot 51\cdot 50\cdot 10\cdot 6 = 132\,600\cdot 60 = 7\,956\,000 \approx 7{,}96\times 10^6.
  3. Tipo III: duas letras distintas, dois algarismos distintos, dois especiais distintos: 52\cdot 51\cdot (10\cdot 9)\cdot (6\cdot 5) = 2\,652\cdot 90\cdot 30 = 7\,160\,400 \approx 7{,}16\times 10^6.

Cálculo do tipo I: 68\cdot 67 = 4\,556; 66\cdot 65 = 4\,290; 4\,556\cdot 4\,290 = 19\,545\,240.

Comparando: N_1 = 19\,545\,240 > N_2 = 7\,956\,000 > N_3 = 7\,160\,400.

Como a probabilidade é o inverso do total, p_1 < p_2 < p_3. A menor probabilidade é a do tipo I, o que corresponde à alternativa A.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B, C e E induzem a julgar pela quantidade de caracteres ou de letras, sem contar as senhas; e a D inverte a relação entre probabilidade e total de senhas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BJustifica pela quantidade de caracteres, mas ter menos caracteres não implica menos senhas; o que vale é o total de combinações, e o tipo I tem restrição menor.
  • CTer mais letras não determina a menor probabilidade; o tipo II tem 7\,956\,000 senhas, menos que o tipo I.
  • DInverte a relação: o tipo III tem menos senhas, então maior probabilidade (p_3>p_2>p_1).
  • EAcha que mais caracteres significa mais senhas, mas as restrições de posição reduzem o total do tipo III.

Assuntos: análise combinatória, princípio multiplicativo, probabilidade.

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