Questão 178 do ENEM 2022

2º dia · Matemática

Uma cozinheira produz docinhos especiais por encomenda. Usando uma receita-base de massa, ela prepara uma porção, com a qual produz 50 docinhos maciços de formato esférico, com 2 cm de diâmetro. Um cliente encomenda 150 desses docinhos, mas pede que cada um tenha formato esférico com 4 cm de diâmetro. A cozinheira pretende preparar o número exato de porções da receita-base de massa necessário para produzir os docinhos dessa encomenda.

Quantas porções da receita-base de massa ela deve preparar para atender esse cliente?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    6
  4. D
    12
  5. E
    24
Resolução comentada

O que importa aqui é o volume de massa, e o volume de uma esfera cresce com o cubo do raio: V=\frac{4}{3}\pi r^3. Dobrar o diâmetro não dobra a massa necessária.

  1. Docinho da receita-base: diâmetro 2 cm, raio 1 cm, então V_1=\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3=\frac{4}{3}\pi\ \text{cm}^3.
  2. Docinho da encomenda: diâmetro 4 cm, raio 2 cm, então V_2=\frac{4}{3}\pi\cdot 2^3=\frac{32}{3}\pi\ \text{cm}^3.
  3. Razão entre os volumes: \frac{V_2}{V_1}=2^3=8. Cada docinho novo gasta 8 vezes mais massa que um antigo.
  4. Uma porção rende 50 docinhos pequenos, ou seja, equivale a 50V_1 de massa.
  5. A encomenda tem 150 docinhos grandes: 150\cdot 8V_1=1200V_1.
  6. Número de porções: \frac{1200V_1}{50V_1}=24.

Outra forma de ver: 150 docinhos grandes são 3 vezes os 50 da porção, e cada um custa 8 vezes mais massa, então 3\cdot 8=24 porções.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que dobrar o diâmetro dobra a massa, e a D quem usa o quadrado (área) em vez do cubo (volume).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só o dobro do diâmetro, ignorando o número de docinhos e o cubo.
  • Busa apenas a razão 150/50 = 3 e esquece o aumento de volume.
  • Cmultiplica 3 por 2 (razão dos diâmetros), tratando o volume como linear.
  • Dmultiplica 3 por 4, usando o quadrado da razão (área) em vez do cubo (volume).

Assuntos: volume da esfera, semelhança e razão de volumes.

Ver como caiu na prova Questão 178 no caderno Azul do ENEM 2022

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