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Questão 150 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Função exponencial

Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: Q(t) = Q_0 \times 2^{-\frac{t}{5730}} em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante t e Q_0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.

Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas.

Fóssil Q_0 Q(t)
1 128 32
2 256 8
3 512 64
4 1 024 512
5 2 048 128

O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    3.
  4. D
    4.
  5. E
    5.
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Resolução comentada

Na fórmula, o tempo depende de quantas vezes a quantidade inicial foi dividida por 2. Isolando t:

\frac{Q(t)}{Q_0}=2^{-\frac{t}{5730}}

O fóssil mais antigo é aquele cujo expoente \frac{t}{5730} é maior, ou seja, o que sofreu mais "meias-vidas". Calculamos a razão \frac{Q_0}{Q(t)} de cada fóssil, que vale 2^{n}, sendo n=\frac{t}{5730}:

  1. Fóssil 1: \frac{128}{32}=4=2^2, então n=2.
  2. Fóssil 2: \frac{256}{8}=32=2^5, então n=5.
  3. Fóssil 3: \frac{512}{64}=8=2^3, então n=3.
  4. Fóssil 4: \frac{1024}{512}=2=2^1, então n=1.
  5. Fóssil 5: \frac{2048}{128}=16=2^4, então n=4.

O maior valor de n é 5, do fóssil 2, com t=5\times5730=28\,650 anos.

Observe que o fóssil 2 não é o que tem menor Q(t) em valor absoluto nem o de maior Q_0: o que importa é a razão entre as quantidades.

Alternativa B.

Pegadinha: O fóssil 5 tem o maior Q_0 e o fóssil 2 o menor Q(t) isolado; olhar só um dos valores em vez da razão leva ao erro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem razão Q_0/Q(t)=4, apenas 2 meias-vidas, a segunda menor.
  • CTem razão 8, ou 3 meias-vidas, menos que o fóssil 2.
  • DTem razão 2, só 1 meia-vida; o maior Q_0 e o maior Q(t) enganam.
  • ETem razão 16, 4 meias-vidas, ainda menos que as 5 do fóssil 2.

Assunto: Função exponencial.

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