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Questão 149 do ENEM 2020

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por

f = \frac{A}{r^B}

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.

Diponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adatpado).

Com base nos valores de X = \log(r) e Y = \log(f), é possível estimar valores para A e B.

No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é

  1. A
    Y = \log(A) - B \cdot X
  2. B
    Y = \dfrac{\log(A)}{X + \log(B)}
  3. C
    Y = \dfrac{\log(A)}{B} - X
  4. D
    Y = \dfrac{\log(A)}{B \cdot X}
  5. E
    Y = \dfrac{\log(A)}{X^B}
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Resolução comentada

A ideia é aplicar o logaritmo aos dois lados da lei, para transformar a potência em uma expressão linear em X.

Partimos de:

f = \frac{A}{r^B}
  1. Aplicamos \log nos dois lados: \log(f) = \log\left(\dfrac{A}{r^B}\right).
  2. Usamos a propriedade do quociente, \log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b: \log(f) = \log(A) - \log(r^B).
  3. Usamos a propriedade da potência, \log(r^B) = B\cdot\log(r): \log(f) = \log(A) - B\cdot\log(r).
  4. Substituímos Y = \log(f) e X = \log(r):
Y = \log(A) - B\cdot X

Assim, Y e X têm relação de reta, com coeficiente linear \log(A) e coeficiente angular -B. É por isso que essa lei permite estimar A e B a partir de um gráfico de \log(f) contra \log(r).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BInventa uma soma X + \log(B) no denominador; o logaritmo de um quociente vira diferença, não quociente.
  • CDivide \log(A) por B e ignora que B multiplica X ao sair do expoente.
  • DTrata o logaritmo do quociente como quociente de logaritmos, o que não vale.
  • EMantém X^B, esquecendo que o expoente B sai multiplicando o logaritmo.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Função afim.

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