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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 177 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

Esquemas do pistão na câmara de combustão em dois instantes. À esquerda, no instante t = 0, a parte superior do pistão está em h(0) = 0. À direita, no instante t ≠ 0, o pistão está deslocado para cima e sua altura é indicada por h(t); setas mostram o movimento do mecanismo.

A função h(t)=4+4\sen\left(\dfrac{\beta t}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right) definida para t\geq 0 descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro \beta, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t=0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para \pi.

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \beta, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
  5. E
    8.
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Resolução comentada

Queremos h(t)=6:

4+4\sen\left(\dfrac{\beta t}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)=6 \Rightarrow \sen\left(\dfrac{\beta t}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1}{2}

Seja x=\dfrac{\beta t}{2}-\dfrac{\pi}{2}. Em t=0, x=-\pi/2, e x cresce com o tempo. Os valores de x com seno igual a \frac12 são \frac{\pi}{6}+2k\pi e \frac{5\pi}{6}+2k\pi.

A partir de x=-\pi/2, a primeira vez que o seno vale \frac12 é em \frac{\pi}{6}, a segunda em \frac{5\pi}{6} e a terceira em \frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}.

A terceira vez ocorre então quando:

\dfrac{\beta t}{2}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{13\pi}{6}\Rightarrow \dfrac{\beta t}{2}=\dfrac{16\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{3}\Rightarrow t=\dfrac{16\pi}{3\beta}

Com \pi=3: t=\dfrac{16}{\beta}.

Exigimos t<4:

\dfrac{16}{\beta}<4\Rightarrow \beta>4

Como \beta é inteiro positivo, o menor valor é \beta=5.

Conferindo: com \beta=4, t=4 s exatamente, o que não é "menos de 4 segundos".

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana porque dá exatamente t=4 s, e a condição é estritamente menor que 4 s.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom \beta=1 a terceira passagem por 6 cm ocorre em t=16 s, muito além de 4 s.
  • BCom \beta=2 a terceira vez ocorre em t=8 s, maior que 4 s.
  • CCom \beta=4 a terceira vez ocorre em exatamente 4 s, e o enunciado pede menos de 4 s.
  • EFunciona (t=2 s), mas não é o menor valor inteiro possível.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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