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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 179 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:

Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;

Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;

Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(\text{I}), P(\text{II}) e P(\text{III}) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se

  1. A
    P(\text{I}) < P(\text{III}) < P(\text{II})
  2. B
    P(\text{II}) < P(\text{I}) < P(\text{III})
  3. C
    P(\text{I}) < P(\text{II}) = P(\text{III})
  4. D
    P(\text{I}) = P(\text{II}) < P(\text{III})
  5. E
    P(\text{I}) = P(\text{II}) = P(\text{III})
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Resolução comentada

São 20 equipes com 10 atletas cada, ou seja, 200 atletas. Vamos calcular a chance de o atleta denunciado estar entre os escolhidos em cada modo.

Modo I: três atletas são sorteados entre 200. A chance de o denunciado ser um deles é

P(\text{I}) = \frac{3}{200} = 0{,}015

Modo II: primeiro sorteia-se a equipe do denunciado (1 entre 20). Depois, sorteiam-se 3 dos 10 atletas dessa equipe.

P(\text{II}) = \frac{1}{20}\cdot\frac{3}{10} = \frac{3}{200}

Modo III: a equipe do denunciado precisa estar entre as 3 equipes sorteadas, o que ocorre com probabilidade \frac{3}{20}. Depois, dessa equipe sorteia-se 1 atleta entre 10, com chance \frac{1}{10}.

P(\text{III}) = \frac{3}{20}\cdot\frac{1}{10} = \frac{3}{200}

Os três valores são iguais: P(\text{I}) = P(\text{II}) = P(\text{III}) = \frac{3}{200}.

Intuitivamente, em todos os modos são escolhidos 3 atletas e cada um dos 200 tem a mesma chance de estar entre eles.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe probabilidades diferentes, mas todas valem 3/200.
  • BAcha que o modo II é menos provável por sortear numa só equipe, mas \frac{1}{20}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{200}.
  • CConsidera o modo I menor, mas 3/200 é igual nos três modos.
  • DConsidera o modo III maior por espalhar o sorteio entre equipes, mas ele também dá \frac{3}{20}\cdot\frac{1}{10}=\frac{3}{200}.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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