Questão 174 do ENEM 2015

2º dia · Matemática

Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = - h^2 + 22h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.

Intervalos de temperatura (°C) Classificação
T < 0 Muito baixa
0 \le T \le 17 Baixa
17 < T < 30 Média
30 \le T \le 43 Alta
T > 43 Muito alta

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como

  1. A
    muito baixa.
  2. B
    baixa.
  3. C
    média.
  4. D
    alta.
  5. E
    muito alta.
Resolução comentada

A temperatura é uma função do 2º grau com coeficiente a=-1, ou seja, parábola com concavidade para baixo. Por isso ela tem um ponto de máximo, no vértice, e é nesse instante que o número de bactérias é o maior possível.

Na função T(h) = -h^2 + 22h - 85, os coeficientes são a=-1, b=22 e c=-85.

  1. Hora do máximo: h_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{22}{2\cdot(-1)} = 11.

  2. Temperatura máxima: T(11) = -11^2 + 22\cdot 11 - 85 = -121 + 242 - 85 = 36.

Conferindo pelo discriminante: \Delta = 22^2 - 4\cdot(-1)\cdot(-85) = 484 - 340 = 144, e T_v = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{144}{-4} = 36. Confere.

  1. Classificação: pela tabela, 30 \le 36 \le 43, que corresponde a temperatura alta.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATemperatura muito baixa exigiria T<0, mas o máximo da função é 36 °C.
  • BFaixa de 0 a 17 °C; o valor máximo, 36, está bem acima disso.
  • CFaixa de 17 a 30 °C; seria resultado de erro de cálculo no vértice, pois 36 ultrapassa 30.
  • EExigiria T>43, mas o máximo é 36 °C.

Assuntos: função quadrática, vértice da parábola.

Ver como caiu na prova Questão 174 no caderno Azul do ENEM 2015

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