Questão 179 do ENEM 2010

Question

Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

\begin{matrix} & & & 1 & & & \\ & & 1 & 2 & 1 & & \\ & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ & & & \dots & & & \end{matrix}

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9^a linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

A
9
B
45
C
64
D
81
E
285

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 179 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Sequências e padrões

Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

\begin{matrix} & & & 1 & & & \\ & & 1 & 2 & 1 & & \\ & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ & & & \dots & & & \end{matrix}

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9^a linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

A
9
B
45
C
64
D
81
E
285

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Resolução comentada

Vamos calcular a soma das primeiras linhas e procurar o padrão.

Linha 1: 1 = 1
Linha 2: 1+2+1 = 4
Linha 3: 1+2+3+2+1 = 9
Linha 4: 1+2+3+4+3+2+1 = 16

As somas são 1,\ 4,\ 9,\ 16, ou seja, 1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2. A propriedade é: a soma da linha n é n^2.

Por que isso vale? A linha n vai de 1 até n e volta até 1. Ela tem o termo central n mais duas progressões 1+2+\dots+(n-1), cada uma com soma \frac{(n-1)n}{2}. Então:

S_n = n + 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} = n + n^2 - n = n^2

Para a 9ª linha:

S_9 = 9^2 = 81

Conferindo: 1+2+\dots+8 = 36, então 36 + 9 + 36 = 81.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AToma apenas o número central da linha, sem somar os demais termos.
BCalcula a soma de 1 a 9, que é só uma das metades mais o centro, sem considerar a descida simétrica.
CUsa 8^2, confundindo o índice da linha com n-1.
ESoma os quadrados de 1 a 9, o que não corresponde à soma da linha.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 179 no caderno Azul do ENEM 2010

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